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【題目】如圖，直線與軸交于點，與軸交于點，將線段繞點逆時針旋轉得到線段，雙曲線經過點.

（1）求直線和雙曲線的解析式．

（2）平移直線，使它與雙曲線有唯一公共點時，求點的坐標．

【答案】（1），；（2）（-3,6）

【解析】

（1）根據待定系數法即可求出直線AB的解析式，過點作軸于，如圖，根據AAS即可證明，從而得，，進而可得點C坐標，進一步即可求出雙曲線的解析式；

（2）設平移后的直線為，根據題意可知聯立該直線與雙曲線的解析式組成的方程組只有一個實數解，即△=0，由此可得關于n的方程，解方程求出n后再解方程即可求出點P坐標．

解：（1），∴設直線的解析式為，

將點代入，得，

，

直線的解析式為，

過點作軸于，如圖，則，

，

∴，

，

∴，

，，

，

雙曲線的解析式為；

（2）設平移后的直線為，

由，得，

由題意，得，得或n=﹣12（舍去），

此時，

．

點的坐標為．

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【題目】（問題提出）：有同樣大小正方形256個，拼成如圖1所示的的一個大的正方形．請問如果用一條直線穿過這個大正方形的話，最多可以穿過多少個小正方形？

（問題探究）：我們先考慮以下簡單的情況：一條直線穿越一個正方形的情況．（如圖2）

從圖中我們可以看出，當一條直線穿過一個小正方形時，這條直線最多與正方形上、下、左、右四條邊中的兩個邊相交，所以當一條直線穿過一個小正方形時，這條直線會與其中某兩條邊產生兩個交點，并且以兩個交點為頂點的線段會全部落在小正方形內．

這就啟發我們：為了求出直線最多穿過多少個小正方形，我們可以轉而去考慮當直線穿越由小正方形拼成的大正方形時最多會產生多少個交點.然后由交點數去確定有多少根小線段，進而通過線段的根數確定下正方形的個數．

再讓我們來考慮正方形的情況（如圖3）：

為了讓直線穿越更多的小正方形，我們不妨假設直線右上方至左下方穿過一個的正方形，我們從兩個方向來分析直線穿過正方形的情況：從上下來看，這條直線由下至上最多可穿過上下平行的兩條線段；從左右來看，這條直線最多可穿過左右平行的四條線段；這樣直線最多可穿過的大正方形中的六條線段，從而直線上會產生6個交點，這6個交點之間的5條線段，每條會落在一個不同的正方形內，因此直線最多能經過5個小正方形．

（問題解決）：

（1）有同樣大小的小正方形16個，拼成如圖4所示的的一個大的正方形．如果用一條直線穿過這個大正方形的話，最多可以穿過_________個小正方形．

（2）有同樣大小的小正方形256個，拼成的一個大的正方形.如果用一條直線穿過這個大正方形的話，最多可以穿過___________個小正方形．

（3）如果用一條直線穿過的大正方形的話，最多可以穿過___________個小正方形．

（問題拓展）：

（4）如果用一條直線穿過的大長方形的話（如圖5），最多可以穿過個___________小正方形．

（5）如果用一條直線穿過的大長方形的話（如圖6），最多可以穿過___________個小正方形．

（6）如果用一條直線穿過的大長方形的話，最多可以穿過________個小正方形．

（類比探究）：

由二維的平面我們可以聯想到三維的立體空間，平面中的正方形中四條邊可聯想到正方體中的正方形的六個面，類比上面問題解決的方法解決如下問題：

（7）如圖7有同樣大小的小正方體8個，拼成如圖所示的的一個大的正方體.如果用一條直線穿過這個大正方體的話，最多可以穿過___________個小正方體．

（8）如果用一條直線穿過的大正方體的話，最多可以穿過_________個小正方體．

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【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，D是邊AC的中點，CE⊥BD于E．若F是邊AB上的點，且使△AEF為等腰三角形，則AF的長為_____．

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(1)求與的函數解析式，并寫出的取值范圍；

(2)當該品種蜜柚定價為多少時，每天銷售獲得的利潤最大，最大利潤是多少?

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