Question

如圖，已知：△ABC的外角∠CAG=120°，∠CAG的平分線AD與BC的延長線相交于點D，延長DA與．△ABC的外接圓交于點F，連接FB、FC，FC與AB相交于點E．
（1）寫出圖中除△EFB∽△EAC、△EAF∽△ECB以外的4對相似三角形；
（2）判斷△FBC的形狀，并說明理由．

Answer 1

（1）∵∠AFC+∠D=60°，∠AFC+∠ACF=60°，
∴∠FCA=∠D．
∵∠AFC=∠CFD，
∴△FAC∽△FCD．
∵∠BAC=∠BCF=60°，∠ABC=∠CBE，
∴△BAC∽△BCE．
∵∠FAE=∠BCE，∠FEA=∠BEC，
∴△FEA∽△BEC，同理△EFB∽△EAC．
∴△FAE∽△BAC．
∵∠FAB=∠BFC=60°，∠FBA=∠EBF，
∴△FBA∽△EBF．
∵∠FAB=∠BAC=60°，∠FBA=∠EAC，
∴△FBA∽△ECA．
同理△DAC∽△DBF．

（2）△FBC為等邊三角形，
∵∠CAG=120°，∠CAG的平分線AD與BC的延長線相交于點D，
∴∠GAD=∠DAC=60°，∠CAB=180°-∠GAC=60°．
∴∠BFC=∠BAC=60°，∠BAF=∠GAD=60°．
∴∠BCF=∠BAF=60°．
∴∠FBC=60°．
∴△FBC為等邊三角形．