Question

2．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，AM是△ACD的外角∠DAF的平分線．
（1）求證：AM是⊙O的切線；
（2）若∠D=60°，AD=2，射線CO與AM交于N點，請寫出求ON長的思路．

Answer 1

分析 （1）根據垂徑定理得到AB垂直平分CD，根據線段垂直平分線的性質得到AC=AD，得到∠BAD=$\frac{1}{2}$∠CAD，由AM是△ACD的外角∠DAF的平分線，得到∠DAM=$\frac{1}{2}$∠FAD，于是得到結論；
（2）設AB與CD交于G，推出△ACD是等邊三角形，得到CD=AD=2，根據直角三角形的性質即可得到結論．

解答 解：（1）∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，
∴AB垂直平分CD，
∴AC=AD，
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠CAD，
∵AM是△ACD的外角∠DAF的平分線，
∴∠DAM=$\frac{1}{2}$∠FAD，
∴∠BAM=$\frac{1}{2}$（∠CAD+∠FAD）=90°，
∴AB⊥AM，
∴AM是⊙O的切線；

（2）思路：①由AB⊥CD，AB是⊙O的直徑，可得BC=BD，AC=AD，
∠1=∠3=$\frac{1}{2}$∠CAD，AC=AD；
②由∠D=60°°，AQD=2，可得△ACD為邊長為2的等邊三角形，∠1=∠3=30°；
③由OA=OC，可得∠3=∠4=30°；
④由∠CAN=∠3+∠OAN=120°，可得∠5=∠4=30°，AN=AC=2；
⑤由△OAN為含有30°的直角三角形，可求ON的長．
附解答：∵AC=AD，∠D=60°，
∴△ACD是等邊三角形，
∴CD=AD=2，
∴CG=DG=1，
∴OC=OA=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∵∠3=∠4=30°，
∴ON=2OA=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了切線的判定，垂徑定理，圓周角定理，等邊三角形的判定和性質，熟練掌握各定理是解題的關鍵．