Question

13．如圖，直線y=$\frac{1}{2}$x+2與x軸和y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，把△AOB繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△COD，且拋物線y=ax²b+x+c過A、C、D三點(diǎn)．
（1）求A、B、C、D的坐標(biāo)；
（2）求拋物線的表達(dá)式；
（3）若拋物線在第二象限存在點(diǎn)M，使MA=MB，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）先利用一次函數(shù)的解析式求出A點(diǎn)和B點(diǎn)坐標(biāo)，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠AOC=∠BOD=90°，OC=OA，OD=OB，則可表示出C點(diǎn)和D點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)=a（x+4）（x-2），再把C點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a即可得到拋物線的解析式；
（3）設(shè)M（t，-$\frac{1}{2}$t²-t+4），t＜0，利用兩點(diǎn)間的距離公式得到MA=$\sqrt{（t+4）^{2}+（-\frac{1}{2}{t}^{2}-t+4）^{2}}$，MB=$\sqrt{{t}^{2}+（-\frac{1}{2}{t}^{2}-t+4-2）^{2}}$，則$\sqrt{（t+4）^{2}+（-\frac{1}{2}{t}^{2}-t+4）^{2}}$=$\sqrt{{t}^{2}+（-\frac{1}{2}{t}^{2}-t+4-2）^{2}}$，然后解方程求出t即可得到M點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）當(dāng)y=0時(shí)，$\frac{1}{2}$x+2=0，解得x=-4，則A（-4，0），
當(dāng)x=0時(shí)，y=$\frac{1}{2}$x+2=2，則B（0，2），
∵△AOB繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△COD，
∴∠AOC=∠BOD=90°，OC=OA，OD=OB，
∴C（0，4），D（2，0），
（2）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+4）（x-2），
把C（0，4）代入得a•4•（-2）=4，解得a=-$\frac{1}{2}$，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$（x+4）（x-2），即y=-$\frac{1}{2}$x²-x+4；
（3）設(shè)M（t，-$\frac{1}{2}$t²-t+4），t＜0，
MA=$\sqrt{（t+4）^{2}+（-\frac{1}{2}{t}^{2}-t+4）^{2}}$，MB=$\sqrt{{t}^{2}+（-\frac{1}{2}{t}^{2}-t+4-2）^{2}}$，
而MA=MB，
∴$\sqrt{（t+4）^{2}+（-\frac{1}{2}{t}^{2}-t+4）^{2}}$=$\sqrt{{t}^{2}+（-\frac{1}{2}{t}^{2}-t+4-2）^{2}}$，
整理得t²-2t-14=0，解得t₁=1+$\sqrt{15}$（舍去），t₂=1-$\sqrt{15}$，
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（1-$\sqrt{15}$，-5+2$\sqrt{15}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；會(huì)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；會(huì)利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算線段的長(zhǎng)．