Question

如圖，在直角梯形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC，且AD＝4cm，AB＝6cm，DC＝10cm.若動點P從A點出發，以每秒4cm的速度沿線段AD、DC向C點運動；動點Q從C點出發以每秒5cm的速度沿CB向B點運動.當Q點到達B點時，動點P、Q同時停止運動.設點P、Q同時出發，并運動了t秒，

（1）直角梯形ABCD的面積為             cm².
（2）當t＝　　　　　秒時，四邊形PQCD成為平行四邊形？
（3）當t＝　　　　　秒時，AQ=DC；
（4）是否存在t，使得P點在線段DC上且PQ⊥DC？若存在，求出此時t的值，若不存在，說明理由.

Answer 1

（1）48；（2）；（3）；（4）存在，.

試題分析：本題綜合考察了平行四邊形的判定方法，梯形的計算，梯形問題一般通過作高線轉化為三角形與平行四邊形的問題.
（1）作DM⊥BC于點M，在直角△CDM中，根據勾股定理即可求得CM=8cm，得到下底邊的長BC=12cm，由梯形面積公式可得：（4+12）×6÷2=48cm².所以應填48.
（2）當四邊形PQCD成為平行四邊形時．PQ//CD，PQ=CD.所以4-4t=5t，解方程可得t=，所以應填.
即為所求.
（3）在直角△ABQ中，AB²+BQ²=AQ².而AB=6，AQ=DC=10，此時BQ=12-t，由勾股定理可求，所以填.
（4）連接QD，根據可求PQ=3t，進而利用勾股定理在中求得t的值，結合CD、CB的長度分析可求t是否存在.
試題解析：
解：（1）48（2）（3）
（4）如圖，設QC＝5t，則DP＝4t－4，
∵CD＝10
∴PC＝14－4t，連結DQ，
∵AB＝6，
∴
若PQ⊥CD，則
∴5PQ＝15t，
即PQ＝3t
∵PQ⊥CD  則QC²＝PQ²＋PC²
∴
解得t＝（5分）
當t＝時，4＜4t＜14，此時點P在線段DC上，又5t＝＜12，點Q在線段CB上.
∴當P點運動到DC上時，存在t＝秒，使得PQ⊥CD.（6分）