Question

8．把兩個完全相同有一個角為30°的直角三角板重合在一起，如圖1放置，將△ABC固定，讓△DEC繞直角頂點C旋轉一定角度，設三角板的短直角邊AC的長度為1個單位．
解答下列問題：
（1）當△DEC旋轉到圖2的位置時，交錯連接對應頂點得到△BDC和△AEC，寫出△BDC和△AEC的面積的數量關系，并證明你的結論；
（2）如圖3，若連接誒對應頂點得到△ACD和△BCE，求證：S_△BCE=3S_△ACD．
（3）如圖2，設旋轉角為α，當0°≤α≤180°時，直接寫出α為多少時，AE+BD最小，最小值是多少？

Answer 1

分析 （1）結論：∴△BDC的面積和△AEC的面積相等．如圖①中，作DM⊥BC于M，AN⊥EC于N，由△ACN≌△DCM（AAS），推出AN=DM，由此即可證明．
（2）只要證明△ACD∽△BCE，得$\frac{{S}_{△ACD}}{{S}_{△BCE}}$=（$\frac{CD}{EC}$）²=$\frac{1}{3}$，即可證明．
（3）當旋轉角為90°時，點D在線段BC上時，AE+BD最小，最小值=2$\sqrt{3}$．

解答 （1）解：結論：∴△BDC的面積和△AEC的面積相等．如圖①中，
作DM⊥BC于M，AN⊥EC于N．

∵△DEC是由△ABC繞點C旋轉得到，
∴BC=CE，AC=CD，
∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°-90°=90°，
∴∠ACN=∠DCM，
在△ACN和△DCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACN=∠DCM}\\{∠CMD=∠N=90°}\\{AC=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACN≌△DCM（AAS），
∴AN=DM，
∴△BDC的面積和△AEC的面積相等（等底等高的三角形的面積相等），

（2）證明：如圖③中，

∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
∵$\frac{BC}{AC}$=$\frac{EC}{CD}$=$\sqrt{3}$，
∴△ACD∽△BCE，
∴$\frac{{S}_{△ACD}}{{S}_{△BCE}}$=（$\frac{CD}{EC}$）²=$\frac{1}{3}$，
∴S_△BCE=3S_△ACD．

（3）當旋轉角為90°時，點D在線段BC上時，AE+BD最小，最小值=2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質，三角形的面積，等邊三角形的判定與性質，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質，熟練掌握等底等高的三角形的面積相等，以及全等三角形的面積相等是解題的關鍵，學會利用特殊位置解決實際問題，屬于中考常考題型．