Question

【題目】已知拋物線的頂點為點，與軸分別交于、兩點（點在點的左側），與軸交于點．

（1）直接寫出點的坐標為________；

（2）如圖，若、兩點在原點的兩側，且，四邊形為正方形，其中頂點、在軸上，、位于拋物線上，求點的坐標；

（3）若線段，點為反比例函數與拋物線在第一象限內的交點，設的橫坐標為，當時，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）把函數變形為頂點式即可求解；

（2）設A（x1，0），B（x2，0），易得x1＋x2＝2，又OA＝3OB得到x1＝3x2，求出x1，x2，得到A，B坐標，將B（1，0）代入拋物線求出a，設E（m，0），則，EN＝（m2＋2m3），根據題意，得 2m＋2＝（m2＋2m3），解得m的值即可求解；

（3）由線段AB＝2，得A（2，0），B（0，0），a＝4，y＝4x2＋8x，當1＜m＜3時，對于拋物線y＝4x2＋8x，y隨x的增大而增大，對于反比例函數，y隨x的增大而減小，當x＝1時，雙曲線在拋物線上方，即＞4×12＋8×1，解得k＞12，當x＝3時，雙曲線在拋物線下方，即＜4×32＋8×3，解得k＜180，所以k的取值范圍12＜k＜180．

（1）∵y＝ax2＋2ax＋a4＝a（x＋1）24，

∴P（1，4）；

故答案為：（1，4）；

（2）設點，

∵拋物線的對稱軸為

∴

則

又

∴

∴

得，

∴A（3，0），B（1，0），

把點代入得

解得

∴

設點坐標為，F（n,0）

∴，∴n=-m-2

∴，

根據題意得

解得，（舍去）

∴點的坐標為；

（3）∵，拋物線的對稱軸為

所以，，

把（0，0）代入得，

解之得，，

∴，

當，對于拋物線來說，隨增大而增大；

對于，隨增大而減小，所以當時，雙曲線在拋物線的上方，

即，解之得，

當時，雙曲線位于拋物線的下方，即，解之得，

所以的取值范圍為．