Question

9．已知：如圖，在△ABC中，∠BAC=45°，BD、AE分別是邊AC、BC邊上的高，AE和BD交于點G，點E、點F分別是BC、AG的中點．判斷△DEF的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析 結論：△DEF是等腰直角三角形．首先證明∠ADF=∠EDB，推出∠FDE=∠FDE=90°，再證明△ADF≌△BDE，推出DF=ED，即可解決問題．

解答 解：結論：△DEF是等腰直角三角形．
理由：∵BD、AE分別是邊AC、BC邊上的高，
∴∠ADG=∠BEG=90°，
∵∠AGD=∠BGE，
∴∠DAF=∠EBD，
∵AF=FG，BE=EC，
∴DF=AF=FG，DE=BE=EC，
∴∠FAD=∠FDA，∠EBD=∠EDB，
∴∠ADF=∠EDB，
∴∠FDE=∠FDE=90°，
∵∠BAC=45°，∠BDA=90°，
∴∠ABD=∠BAD=45°，
∴DB=DA，
在△ADF和△BDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAD=∠EBD}\\{DA=DB}\\{∠ADF=∠EDB}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△BDE，
∴DF=ED，
∴△DEF是等腰直角三角形．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質、等腰直角三角形的性質和判定、直角三角形斜邊中線的性質等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．