Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，頂點為（11，﹣）的拋物線交y軸于A點，交x軸于B，C兩點（點B在點C的左側），已知A點坐標為（0，8）．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）過點B作線段AB的垂線交拋物線于點D，如果以點C為圓心的圓與直線BD相切，請判斷拋物線的對稱軸l與⊙C有怎樣的位置關系，并給出證明；

（3）連接AC，在拋物線上是否存在一點P，使△ACP是以AC為直角邊的直角三角形，若存在，請直接寫出點P的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）對稱軸l與⊙C相交，見解析；（3）P（30，﹣2）或（46，100）

【解析】

（1）已知拋物線的頂點坐標，可用頂點式設拋物線的解析式，然后將A點坐標代入其中，即可求出此二次函數的解析式；

（2）根據拋物線的解析式，易求得對稱軸l的解析式及B、C的坐標，分別求出直線AB、BD、CE的解析式，再求出CE的長，與到拋物線的對稱軸的距離相比較即可；

（3）分∠ACP＝90°、∠CAP＝90°兩種情況，分別求解即可．

解：（1）設拋物線為y＝a（x﹣11）2﹣，

∵拋物線經過點A（0，8），

∴8＝a（0﹣11）2﹣，

解得a＝，

∴拋物線為y＝＝；

（2）設⊙C與BD相切于點E，連接CE，則∠BEC＝∠AOB＝90°．

∵y＝＝0時，x1＝16，x2＝6．

∴A（0，8）、B（6，0）、C（16，0），

∴OA＝8，OB＝6，OC＝16，BC＝10；

∴AB＝＝＝10，

∴AB＝BC．

∵AB⊥BD，

∴∠ABC＝∠EBC+90°＝∠OAB+90°，

∴∠EBC＝∠OAB，

∴，

∴△OAB≌△EBC（AAS），

∴OB＝EC＝6．

設拋物線對稱軸交x軸于F．

∵x＝11，

∴F（11，0），

∴CF＝16﹣11＝5＜6，

∴對稱軸l與⊙C相交；

（3）由點A、C的坐標得：直線AC的表達式為：y＝﹣x+8，

①當∠ACP＝90°時，

則直線CP的表達式為：y＝2x﹣32，

聯立直線和拋物線方程得，

解得：x＝30或16（舍去），

故點P（30，﹣2）；

當∠CAP＝90°時，

同理可得：點P（46，100），

綜上，點P（30，﹣2）或（46，100）；