Question

已知AB是⊙O的直徑，直線BC與⊙O相切于點B，∠ABC的平分線BD交⊙O于點D，AD的延長線交BC于點C．

（1）求∠BAC的度數；
（2）求證：AD=CD．

Answer 1

解：（1）∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°。
∴∠CDB=90°，BD⊥AC。
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD。
在△ABD和△CBD中，∵，
∴△ABD≌△CBD（ASA）。∴AB=CB。
∵直線BC與⊙O相切于點B，∴∠ABC=90°。
∴∠BAC=∠C=45°。
（2）證明：∵AB=CB，BD⊥AC，
∴AD=CD。

試題分析：（1）由AB是⊙O的直徑，易證得∠ADB=90°，又由∠ABC的平分線BD交⊙O于點D，易證得△ABD≌△CBD，即可得△ABC是等腰直角三角形，即可求得∠BAC的度數。
（2）由AB=CB，BD⊥AC，根據等腰三角形三線合一的性質，即可證得AD=CD。