Question

已知，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，則△ABC的外接圓半徑和△ABC的外心與內心之間的距離分別為

1. A.
   5和
2. B.
   和
3. C.
   和
4. D.
   和

Answer 1

B
分析：首先運用勾股定理求出斜邊AB=5cm，因為直角三角形的外心是斜邊的中點，則外接圓的半徑是斜邊的一半，即為cm．直角三角形的內切圓的半徑r和三邊的關系為r=（a，b為兩直角邊，c為斜邊）可求的r．再運用勾股定理求外心與內心之間的距離即可．
解答： 解：（1）∵∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，
∴AB=5cm（勾股定理）．
∴△ABC的外接圓半徑長R==cm；
（2）連接ID，IE，IF，
∵⊙I是△ABC的內切圓，
∴ID⊥BC，IE⊥AC，IF⊥AB，
∴∠CDI=∠CEI=∠C=90°，
又∵DI=EI，
∴四邊形CDIE是正方形．
∴CD=CE=DI=IE；
∵AC=3cm，BC=4cm，由（1）知AB=5cm，
∴△ABC的內切圓半徑長r=，
=
=1cm．
即DI=EI=FI=1cm；
∴CD=1cm．
∵BC=4cm，
∴BD=3cm．
∵⊙I是△ABC的內切圓，
∴BD=BF=3cm．
∵BO=cm，
∴OF=cm．
在Rt△IFO中，IO=cm（勾股定理）．
∴△ABC的外心與內心之間的距離為cm．
故選C．
點評：本題考查了三角形的外心和內心的性質．直角三角形的外心是斜邊的中點，外接圓的半徑是斜邊的一半；直角三角形的內切圓的半徑r和三邊的關系為r=（a，b為兩直角邊，c為斜邊）．