Question

如圖1，已知在⊙O中，點C為劣弧AB上的中點，連接AC并延長至D，使CD=CA，連接DB并延長DB交⊙O于點E，連接AE．
（1）求證：AE是⊙O的直徑；
（2）如圖2，連接EC，⊙O半徑為5，AC的長為4，求陰影部分的面積之和．（結果保留π與根號）

Answer 1

【答案】分析：（1）連接CB，AB，CE，由點C為劣弧AB上的中點，可得出CB=CA，再根據CD=CA，得△ABD為直角三角形，可得出∠ABE為直角，根據90度的圓周角所對的弦為直徑，從而證出AE是⊙O的直徑；
（2）由（1）得△ACE為直角三角形，根據勾股定理得出CE的長，陰影部分的面積等于半圓面積減去三角形ACE的面積．
解答：（1）證明：連接CB，AB，CE，
∵點C為劣弧AB上的中點，
∴CB=CA，
又∵CD=CA，
∴AC=CD=BC，
∴∠ABC=∠BAC，∠DBC=∠D，
∴∠ABD=90°，
∴∠ABE=90°，
即弧AE的度數是180°，
∴AE是⊙O的直徑；

（2）解：∵AE是⊙O的直徑，
∴∠ACE=90°，
∵AE=10，AC=4，
∴根據勾股定理得：CE=2，
∴S_陰影=S_半圓-S_△ACE=12.5π-×4×2=12.5π-4．
點評：本題考查了扇形面積的計算、勾股定理以及圓周角定理，是基礎知識要熟練掌握．