Question

如圖甲，已知在⊙O中，AB=4

3

，AC是⊙O的直徑，AC⊥BD于F，∠A=30度．
（1）連接BC，CD，請你判定四邊形OBCD是何種特殊的四邊形？試說明理由；
（2）若用扇形OBD圍成一個圓錐側面，請出這個圓錐的底面圓的半徑；
（3）如圖乙，若將“∠A=30°”改為“∠A=22.5°”，其余條件不變，以半徑OB、OD的中點M、N為頂點作矩形MNGH，頂點G、H在⊙O的劣弧

BD

上，GH交OC于點E．試求圖中陰影部分的面積．（結果保留π）

Answer 1

分析：（1）根據對角線互相垂直的平行四邊形是菱形進行證明，由AC⊥BD，根據垂徑定理可知：BF=FD，故只需證明OF=CF．在Rt△ABF中，已知∠A和AB，可將BF，AF的長求出；在Rt△BOF中，運用勾股定理可將半徑OB及OF求出，根據CF=2OB-AF可將CF求出，根據OF=CF，BF=FD，BD⊥OC，可證四邊形OBCD為菱形；
（2）已知扇形BOD的圓心角和半徑，代入l_弧長=

nπR

180

進行求解，再根據底面周長：2πr=l_弧長，可求出圓錐底面的半徑；
（3）作輔助線，連接OH，S_陰影=S_扇形OBD-S_△BOD-S_下矩形，S_扇形=

1

2

lR，S_△BOD=

1

2

OB²，代入數據可將扇形AOB和△BOD的面積求出，由M、N是△OBD的中位線，可知MN=

1

2

BD，在Rt△OEH中，根據勾股定理可求出OE，又OF=

2

2

OB，可得EF=OE-OF，故：S_下矩形=MN×EF，從而可將陰影部分的面積求出．

解答：解：（1）四邊形OBCD是菱形．
如圖丙，∵AC⊥BD，AC是直徑，
∴AC垂直平分BD．
∴BF=FD，

BC

=

CD

．
∴∠BAD=2∠BAC=60°，
∴∠BOD=120°．
∵BF=

1

2

AB=2

3

，
在Rt△ABF中，
AF=

AB2-BF2

=

(4 3 )2-(2 3 )2

=

36

=6．
在Rt△BOF中，
∴OB²=BF²+OF²．即(2

3

)2+(6-OB)2=OB2．
解得：OB=4．
∵OA=OB=4，
∴OF=AF-AO=6-4=2，
∵AC=2OA=8，
∴CF=AC-AF=8-6=2，
∴CF=OF，
∵BF=FD，AC⊥BD，
∴四邊形OBCD是菱形；

（2）設圓錐的底面圓的半徑為r，則周長為2πr．
∵扇形OBD的弧長=

120

180

π•4=

8

3

π，
∴2πr=

8

3

π，
解得：r=

4

3

；

（3）如圖丁，連接OH．
∵∠A=22.5°，
∴∠BOC=45°，
∵∠BOD=∠BOC=90°，OB=OD=4，
∴BD=

2

OB=4

2

，
∴OF=

1

2

BD=2

2

，
∵M、N是OB、OD的中點，
∴MN=

1

2

BD=

1

2

×4

2

=2

2

，
∵四邊形MNGH是矩形，
∴MN=GH=2

2

，EH=EG=

1

2

MN=

2

，
在Rt△HOE中，OE²=OH²-HE²，即OE²=4²-（

2

）²，
解得：OE=

14

，
∴EF=OE-OF=

14

-2

2

，
∵扇形OBD的面積=

1

2

lR=

1

2

×

8

3

π×4=

16

3

π，
∴圖中陰影部分的面積=

16

3

π-

1

2

×4×4-（

14

-2

2

）×2

2

=

16

3

π-8-4

7

+8
=

16

3

π-4

7

．

點評：本題綜合考查菱形的判定定理，垂徑定理的應用，弧長的計算，扇形面積的求法等知識點，求不規則的圖形的面積，可以轉化為幾個規則圖形的面積的和或差來求．