Question

數(shù)形結(jié)合作為一種數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用大致又可分為兩種情形：或者借助于數(shù)的精確性來闡明形的某些屬性，即“以數(shù)解形”；或者借助形的幾何直觀性來闡明數(shù)之間的某種關(guān)系，即“以形助數(shù)”．
如浙教版九上課本第109頁作業(yè)題第2題：如圖1，已知在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，D為垂足．易證得兩個結(jié)論：（1）AC•BC=AB•CD   （2）AC²=AD•AB
（1）請你用數(shù)形結(jié)合的“以數(shù)解形”思想來解：如圖2，已知在△ABC中（AC＞BC），∠ACB=90°，CD⊥AB，D為垂足，CM平分∠ACB，且BC、AC是方程x²-14x+48=0的兩個根，求AD、MD的長．
（2）請你用數(shù)形結(jié)合的“以形助數(shù)”思想來解：設(shè)a、b、c、d都是正數(shù)，滿足a：b=c：d，且a最大．求證：a+d＞b+c（提示：不訪設(shè)AB=a，CD=d，AC=b，BC=c，構(gòu)造圖1）

Answer 1

分析：（1）首先通過解方程x²-14x+48=0求得AC、AB的值（AC＞AB）（觀察圖形得知），根據(jù)勾股定理求得AB=10；然后由△ACD∽△ABC的性質(zhì)求得AD=6.4；最后由角平分線的性質(zhì)求得MD的值；
（2）設(shè)AB=a，CD=d，AC=b，BC=c，構(gòu)造圖1，由S_△ABC=

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底×高求得AB•CD=AC•BC，所以2AB•CD=2AC•BC①；再由勾股定理，得AB²=AC²+BC²②，根據(jù)①②解得（AB+CD）²＞（AC+BC）²，即a+d＞b+c．

解答：解：（1）顯然，方程x²-14x+48=0的兩根為6和8，
又AC＞BC，
∴AC=8，BC=6，
由勾股定理AB=10；
△ACD∽△ABC，得AC²=AD•AB，
∴AD=6.4；
∵CM平分∠ACB，
∴AM：MB=AC：CB，
解得，AM=

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，
∴MD=AD-AM=

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；

（2）解：不訪設(shè)AB=a，CD=d，AC=b，BC=c．
由三角形面積公式，得AB•CD=AC•BC，
2AB•CD=2AC•BC；
又勾股定理，得AB²=AC²+BC²，
∴AB²+2AB•CD=AC²+BC²+2AC•BC（等式性質(zhì)），
∴AB²+2AB•CD=（AC+BC）²，
∴AB²+2AB•CD+CD²＞（AC+BC）²，
∴（AB+CD）²＞（AC+BC）²；
又AB、CD、AC、BC均大于零，
∴AB+CD＞AC+BC即a+d＞b+c．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理及因式分解法解一元二次方程．解答（2）的難點是由等式AB²+2AB•CD=AC²+BC²+2AC•BC（等式性質(zhì)），推到出不等式（AB+CD）²＞（AC+BC）²．