Question

如圖1，已知在△ABC中，AB=AC，點P為底邊BC上（端點B、C除外）的任意一點，且PE∥AC，PF∥AB．
（1）試問線段PE、PF、AB之間有什么數量關系，并說明理由；
（2）如圖2，將“點P為底邊BC上任意一點”改為“點P為底邊BC延長線上任意一點”，其它條件不變，上述結論還成立嗎？如果不成立，你能得出什么結論？請說明你的理由．

Answer 1

分析：（1）推出平行四邊形PEAF，推出PF=AE，∠EPB=∠C，根據等腰三角形的判定和性質推出PE=BE即可；
（2）推出平行四邊形PEAF，推出PE=AF，∠FPB=∠FCP，根據等腰三角形的判定和性質推出PF=FC即可，

解答：（1）結論是PE+PF=AB，
理由是：∵PE∥AC，PF∥AB，
∴四邊形PEAF是平行四邊形，
∴PF=AE，∠EPB=∠C，
∵AC=AB，
∴∠B=∠C，
∴∠EPB=∠B，
∴PE=BE，
∵BE+AE=AB，
∴PE+PF=AB．

（2）結論是PE-PF=AB，
理由是：∵PE∥AC，PF∥AB，
∴四邊形PEAF是平行四邊形，
∴PE=AF，∠FPC=∠ACB=∠FCP，
∴PF=FC，
PE-PF=AC=AB，
即PE-PF=AB．

點評：本題考查了平行四邊形的性質和判定和等腰三角形的性質和判定，證此題的關鍵是證PE=BE和PF=FC，兩小題證明過程類似，題型較好，難度適中．