Question

（2012•歷下區二模）（1）已知：如圖1，已知在△ABC中，AB=AC，D為BC邊的中點，過點D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F．求證：DE=DF．
（2）如圖2，已知△ABC內接于⊙O，AC是⊙O的直徑，D是

AB

的中點，過點D作直線BC的垂線，分別交CB，CA的延長線于E，F，求證：EF是⊙O的切線．

Answer 1

分析：（1）連接AD，根據等腰三角形的三線合一定理得出AD平分∠BAC，根據角平分線性質得出DE=DF即可；
（2）連接OD，根據圓周角定理得出BA⊥BC，推出EF∥AB，根據垂徑定理得出OD⊥AB，即可得出OD⊥EF，根據切線的判定推出即可．

解答：
（1）證明：連接AD，
∵AB=AC，D為BC中點，
∴AD平分∠BAC，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF．

（2）證明：連接OD交AB于M，
∵D為弧AB中點，OD為半徑，
∴OD⊥AB，
∵AC為直徑，
∴∠ABC=90°，
AB⊥BC，
∵EF⊥BC，
∴AB∥EF，
∵OD⊥AB，
∴OD⊥EF，
∵OD是半徑，
∴EF為⊙O的切線．

點評：本題考查了垂徑定理、圓周角定理、等腰三角形的判定等知識的，注意：等腰三角形的三線合一定理，經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．