Question

24、在同一平面內有n條直線，任何兩條不平行，任何三條不共點．當n=1時，如圖（1），一條直線將一個平面分成兩個部分；當n=2時，如圖（2），兩條直線將一個平面分成四個部分；則：當n=3時，三條直線將一個平面分成

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部分；當n=4時，四條直線將一個平面分成

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部分；若n條直線將一個平面分成a_n個部分，n+1條直線將一個平面分成a_n+1個部分．試探索a_n、a_n+1、n之間的關系．

Answer 1

分析：一條直線可以把平面分成兩部分，兩條直線最多可以把平面分成4部分，三條直線最多可以把平面分成7部分，四條直線最多可以把平面分成11部分，可以發現，兩條直線時多了2部分，三條直線比原來多了3部分，四條直線時比原來多了4部分，…，n條時比原來多了n部分．

解答：解：當n=1時，分成2部分，
當n=2時，分成4=2+2部分，
當n=3時，分成7=4+3部分，…（2分）
當n=4時，分成11=7+4部分，…（4分）
規律發現，有幾條線段，則分成的部分比前一種情況多幾部分，
a_n、a_n+1、n之間的關系是：a_n+1=a_n+（n+1）．…（8分）
故答案為：7，11，a_n+1=a_n+（n+1）．

點評：本題是對圖形變化問題的考查，根據前四種情況發現有幾條線段則分成的空間比前一種增加幾部分是解題的關鍵．