Question

已知等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點G在BC上，連接AG，過C作CF⊥AG，垂足為點E，過點B作BF⊥CF于點F，點D是AB的中點，連接DE、DF

（1）若∠CAG=30°，EG=1，求BG的長；

（2）求證：∠AED=∠DFE．

 

Answer 1

（1）；（2）證明見試題解析．

【解析】

試題分析：（1）首先根據勾股定理求出CE的長，進而得到AC的長，因為AC=BC，所以BC可求，利用BH=BC﹣CG計算即可；

（2）連接CD，通過證明分別證明△ACE≌△CBF和△DCE≌△DBF，利用全等三角形的性質即可證明∠AED=∠DFE．

解答：（1）【解析】
∵∠ACE=∠ECG=30°，EG=1，sin30°=，∴CG=2，∴CE=，

∵sin30°=，∴AC=，∴BC=，∴BG=；

（2）證明：連接CD，

在△ACE和△CBF中，∵∠AEC=∠CFB，∠CAE=∠FCB，AC=BC，∴△ACE≌△CBF（AAS），∴CE=BF，

∵等腰RT△ABC中，點D是AB的中點，∴CD=BD，

∵CD⊥BD，∠DCE+∠DPC=∠FBP+∠FPB=90°，∴∠DCE=∠DBF，

在△DCE和△DBF中，

∵CF=BF，∠DCE=∠DBF，DC=BD，∴△DCE≌△DBF（SAS），∴∠CED=∠BFD，

∵∠AEC=∠CFB=90°，∴∠AED=∠DFE．

考點：1．全等三角形的判定與性質；2．等腰直角三角形；3．解直角三角形．