Question

12．已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN繞點A順時旋轉，它的兩邊分別交CB，DC（或它們的延長線）于點M，N．當∠MAB繞點A旋轉到BM=DN時（如圖1），易證BM+DN=MN．
（1）當∠MAN旋轉到BM≠DN時（如圖2），線段BM，DN和MN之間有怎樣的數量關系？寫出猜想，并加以證明．
（2）當∠MAN繞點A旋轉到如圖3的位置時，線段BM，DN和MN之間又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）結論：BM+DN=MN成立，證得B、E、M三點共線即可得到△AEM≌△ANM，從而證得ME=MN．
（2）結論：DN-BM=MN．首先證明△ADQ≌△ABM，得DQ=BM，再證明△AMN≌△AQN（SAS），得MN=QN，

解答 解：（1）BM+DN=MN成立．
證明：如圖，把△ADN繞點A順時針旋轉90°，
得到△ABE，則可證得E、B、M三點共線（圖形畫正確）．
∴∠EAM=90°-∠NAM=90°-45°=45°，
又∵∠NAM=45°，
∴在△AEM與△ANM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AN}\\{∠EAM=∠NAM}\\{AM=AM}\end{array}\right.$，
∴△AEM≌△ANM（SAS），
∴ME=MN，
∵ME=BE+BM=DN+BM，
∴DN+BM=MN；

（2）DN-BM=MN．
在線段DN上截取DQ=BM，
在△ADQ與△ABM中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠ADQ=∠ABM}\\{DQ=MB}\end{array}\right.$，
∴△ADQ≌△ABM（SAS），
∴∠DAQ=∠BAM，
∴∠QAN=∠MAN．
在△AMN和△AQN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AQ=AM}\\{∠QAN=∠MAN}\\{AN=AN}\end{array}\right.$，
∴△AMN≌△AQN（SAS），
∴MN=QN，
∴DN-BM=MN．

點評 本題考查正方形的性質、旋轉變換等知識，解題的關鍵是學會利用旋轉法添加輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．