Question

18．直角坐標系中，點A在x軸上，點B在y軸上，∠BAO=60°，AC平分∠BAO交y軸于點C，若AC=8．

（1）求點B的坐標．
（2）動點P從A出發，以每秒2個單位長度的速度沿著射線AC運動，過P作PH⊥y軸，垂足為H．設運動時間為t秒，用含t的關系式表示線段CH的長，并寫出t的取值范圍．
（3）在（2）的條件下，當OH=2CH時，求出t的值．此時在第一象限內是否存在一點M，使△CHM是等腰直角三角形．如果存在，請直接寫出M的坐標，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據角平分線的定義、直角三角形的性質得到∠OAC=∠BAC=∠ABO=30°，根據直角三角形的性質求出OC，根據等腰三角形的性質求出BC，計算即可；
（2）證明△CPH∽△CAO，根據相似三角形的性質列出比例式，計算即可；
（3）根據題意求出CH，分∠MCH=90°，CH=CM、∠CHM=90°，CH=HM、∠CMH=90°，CM=HM三種情況，根據等腰直角三角形的性質計算即可．

解答 解：（1）∵∠BAO=60°，AC平分∠BAO，
∴∠OAC=∠BAC=∠ABO=30°，
∴OC=$\frac{1}{2}$AC=4，BC=AC=8，
∴OB=OC+BC=12，
∴點B的坐標為（0，12）；
（2）∵PH⊥y軸，
∴PH∥OA，
∴△CPH∽△CAO，
∴$\frac{CH}{CO}$=$\frac{CP}{CA}$，即$\frac{CH}{4}$=$\frac{8-2t}{8}$，
解得，CH=4-2t（0≤t≤4）；
（3）∵OH=2CH，
∴CH=$\frac{4}{3}$，
當∠MCH=90°，CH=CM=$\frac{4}{3}$時，點M的坐標為（$\frac{4}{3}$，4），
當∠CHM=90°，CH=HM=$\frac{4}{3}$時，點M的坐標為（$\frac{4}{3}$，$\frac{8}{3}$），
當∠CMH=90°，CM=HM時，點M在CH的垂直平分線上，
點M的坐標為（$\frac{2}{3}$，$\frac{10}{3}$）．

點評 本題考查的是相似三角形的判定和性質、等腰直角三角形的性質，掌握相似三角形的判定定理、靈活運用分情況討論思想是解題的關鍵．