Question

16．已知P是⊙O外一點(diǎn)，PO交⊙O于點(diǎn)C，OC=CP=2，弦AB⊥OC，∠AOC的度數(shù)為60°，連接PB．
（1）求BC的長(zhǎng)；
（2）求證：PB是⊙O的切線．

Answer 1

分析 （1）連接OB，根據(jù)已知條件判定△OBC的等邊三角形，則BC=OC=2；
（2）欲證明PB是⊙O的切線，只需證得OB⊥PB即可．

解答 （1）解：如圖，連接OB．
∵AB⊥OC，∠AOC=60°，
∴∠OAB=30°，
∵OB=OA，
∴∠OBA=∠OAB=30°，
∴∠BOC=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC的等邊三角形，
∴BC=OC．
又OC=2，
∴BC=2；

（2）證明：由（1）知，△OBC的等邊三角形，則∠COB=60°，BC=OC．
∵OC=CP，
∴BC=PC，
∴∠P=∠CBP．
又∵∠OCB=60°，∠OCB=2∠P，
∴∠P=30°，
∴∠OBP=90°，即OB⊥PB．
又∵OB是半徑，
∴PB是⊙O的切線．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定，等邊三角形的判定與性質(zhì)．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．