Question

如圖1，在△ABC中，AB=AC，點D是BC的中點，點E在AD上．

（1）求證：BE=CE；

（2）如圖2，若BE的延長線交AC于點F，且BF⊥AC，垂足為F，∠BAC=45°，原題設中其它條件不變．求證：△AEF≌△BCF．

 

Answer 1

（1）證明見試題解析；（2）證明見試題解析．

【解析】

試題分析：（1）根據等腰三角形三線合一的性質可得AD垂直平分BC，再根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得BE=CE；

（2）判斷出△ABF是等腰直角三角形，再根據等腰直角三角形的性質可得AF=BF，根據同角的余角相等求出∠EAF=∠CBF，然后利用“角角邊”證明△AEF和△BCF全等，根據全等三角形對應邊相等證明即可．

試題解析：（1）∵AB=AC，點D是BC的中點，∴AD垂直平分BC，∴BE=CE；

（2）∵BF⊥AC，∠BAC=45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴AF=BF，

∵AB=AC，點D是BC的中點，∴AD⊥BC，∴∠EAF+∠C=90°，

∵BF⊥AC，∴∠CBF+∠C=90°，∴∠EAF=∠CBF，

在△AEF和△BCF中，∵∠EAF=∠CBF，∠AFE=∠BFC，AF=BF，∴△AEF≌△BCF（ASA），∴AE=BC．

考點：1．等腰三角形的性質；2．全等三角形的判定與性質．