Question

【題目】如圖，拋物線經過的三個頂點，與軸相交于，點坐標為，點是點關于軸的對稱點，點在軸的正半軸上．

（1）求該拋物線的函數解析式；

（2）點為線段上一動點，過點作軸，軸， 垂足分別為點，，當四邊形為正方形時，求出點的坐標；

（3）將（2） 中的正方形沿向右平移，記平移中的正方形為正方形，當點和點重合時停止運動， 設平移的距離為，正方形的邊與交于點，所在的直線與交于點， 連接，是否存在這樣的，使是等腰三角形?若存在，求的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝－x2＋；（2）點F的坐標為(1，1)；（3）存在這樣的t，使△DMN是等腰三角形，t的值為，3－或1

【解析】

（1）可得拋物線的對稱軸為y軸，設頂點式y＝ax2＋，將A點坐標代入即可求得拋物線解析式；

（2）先求出線段的解析式，①當點F在第一象限時，設正方形OEFG的邊長為p，則F（p，p），代入直線AC的解析式，就可求出點F的坐標；②當點F在第二象限時，同理可求出點F的坐標，此時點F不在線段AC上，故舍去；

（3）過點M作MH⊥DN于H，如圖2，由題可得0≤t≤2．然后只需用t的代數式表示DN、DM2、MN2，分三種情況（①DN=DM，②ND=NM，③MN=MD）討論就可解決問題．

（1）∵點B是點A關于y軸的對稱點，

∴拋物線的對稱軸為y軸，

∴拋物線的頂點為(0,)故拋物線的解析式可設為y＝ax2＋．

∵A(－1，2)在拋物線y＝ax2＋上，

∴a＋＝2，解得a＝－，

∴拋物線的函數解析式為y＝－x2＋．

（2） ①當點F在第一象限時，如圖1，令y＝0得，－x2＋＝0，

解得x1＝3，x2＝－3，

∴點C的坐標為(3，0)，

設直線AC的解析式為y＝mx＋n，則有 解得，

∴直線AC的解析式為y＝－x＋．

設正方形OEFG的邊長為p，則F(p，p)，

∵點F(p，p)在直線y＝－x＋上，

∴－p＋＝p，解得p＝1

∴點F的坐標為(1，1)．

②當點F在第二象限時，則F(-p，p)，

∵點F(-p，p)在直線y＝－x＋上，

∴p＋＝p，解得p＝3,

∴點F的坐標為(－3，3)，此時點F不在線段AC上，故舍去．

綜上所述，點F的坐標為(1，1)．

（3）過點M作MH⊥DN于點H，如圖2，則OD＝t，OE＝t＋1．

∵點E和點C重合時停止運動，

∴0≤t≤2，

當x＝t時，y＝－t＋，則N(t，－t＋)，DN＝－t＋，

當x＝t＋1時，y＝－ (t＋1)＋＝－t＋1，則M(t＋1，－t＋1)，ME＝－t＋1，

在Rt△DEM中，DM2＝12＋(－t＋1)2＝t2－t＋2，

在Rt△NHM中，MH＝1，NH＝(－t＋)－(－t＋1)＝，

∴MN2＝12＋()2＝，

①當DN＝DM時，(－t＋)2＝t2－t＋2，解得t＝；

②當ND＝NM時，－t＋＝＝，解得t＝3－；

③當MN＝MD時，＝t2－t＋2，解得t1＝1，t2＝3，

∵0≤t≤2，

∴t＝1．

綜上所述，存在這樣的t，使△DMN是等腰三角形，t的值為，3－或1．