Question

（本 題14分）已知矩形ABCD的頂點A與點O重合，AD、AB分別在x軸、y軸上，且AD=2，AB=3；拋物線經過坐標原點O和x軸上另一點E（4，0）。

（1）當x取何值時，該拋物線的最大值是多少？

（2）將矩形ABCD以每秒1個單位長度的速度從圖1所示的位置沿x軸的正方向勻速平行移動，同時一動點P也以相同的速度從點A出發向B勻速移動.設它們運動的時間為t秒（0≤t≤3），直線AB與該拋物線的交點為N（如圖2所示）。

① 當時，判斷點P是否在直線ME上，并說明理由；

② 以P、N、C、D為頂點的多邊形面積是否可能為5，若有可能，求出此時N點的坐標；若無可能，請說明理由．

Answer 1

（1）當x=2時，該拋物線的最大值是4；（2）①點P不在直線ME上，理由詳見解析；②以P、N、C、D為頂點的多邊形面積可能為5，當t=1時，此時N點的坐標（1,3）；當t=2時，此時N點的坐標（2,4）理由詳見解析

【解析】

試題分析：（1）因拋物線經過坐標原點O（0,0）和點E（4,0）

故可得c=0,b=4

所以拋物線的解析式為

由

得當x=2時，該拋物線的最大值是4.

（2）① 點P不在直線ME上.

已知M點的坐標為（2,4），E點的坐標為（4,0），

設直線ME的關系式為y=kx+b.

于是得 ，解得

所以直線ME的關系式為y=-2x+8.

由已知條件易得，當時，OA=AP=，

∵ P點的坐標不滿足直線ME的關系式y=-2x+8.

∴ 當時，點P不在直線ME上.

②以P、N、C、D為頂點的多邊形面積可能為5

∵ 點A在x軸的非負半軸上，且N在拋物線上，

∴ OA=AP=t.

∴ 點P，N的坐標分別為（t,t）、（t,-t2+4t）

∴ AN=-t2+4t （0≤t≤3）,

∴ AN-AP=（-t2+4t）-t=-t 2+3t=t（3-t）≥0 ,

∴ PN=-t2+3t 2分

（ⅰ）當PN=0，即t=0或t=3時，以點P，N，C，D為頂點的多邊形是三角形，此三角形的高為AD，∴ S=DC·AD=×3×2=3.

（ⅱ）當PN≠0時，以點P，N，C，D為頂點的多邊形是四邊形

∵ PN∥CD，AD⊥CD，

∴ S=（CD+PN）·AD=[3+（-t2+3t）]×2=-t2+3t+3

當-t2+3t+3=5時，解得t=1、2

而1、2都在0≤t≤3范圍內，故以P、N、C、D為頂點的多邊形面積為5

綜上所述，當t=1、2時，以點P，N，C，D為頂點的多邊形面積為5，

當t=1時，此時N點的坐標（1,3）

當t=2時，此時N點的坐標（2,4）

考點:二次函數的綜合運用