Question

【題目】如圖，已知AB、AC分別為⊙O的直徑和弦，D為的中點，DE垂直于AC的延長線于E，連結(jié)BC，若DE=6cm, CE=2cm，下列結(jié)論：①. DE是⊙O的切線；②. 直徑AB長為20cm；③. 弦AC長為15cm；④. C為的中點.一定正確的個數(shù)是（ ）

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】B

【解析】

連接OD，OC，交BC于點F，可證明DE∥BC，可判斷A；在△OCF中，由垂徑定理結(jié)合勾股定理可求得圓的半徑，可判斷B；由垂徑定理可求得BC的長，結(jié)合B可判斷C；由弧相等可得弦相等可判斷D．

解：連接OD，OC．

∵D是弧BC的中點，

∴OD⊥BC，

∵AB是直徑，

∴∠ACB=90°，

∵DE垂直于AC的延長線于E，

∴BC∥DE，

∴OD⊥DE,

∴DE是圓的切線．故①正確；

∵OD⊥BC，DE⊥CE，OD⊥DE,

∴四邊形DECF是矩形，

∴DF=CE=2cm，CF=DE=6cm，

∴BC=2CF=12cm，

設(shè)半徑為rcm，則OF=（r-2）cm，

在Rt△OCF中，

由勾股定理可得OC2=OF2+CF2，

即r2=（r-2）2+62，

解得r=10cm，

∴AB=20cm，

故②正確；

在Rt△ABC中，BC=12cm，AB=20cm，

∴AC= =16（cm），

故③不正確；

若C為弧AD的中點，則AC=CD，

在Rt△CDE中，CE=2cm，DE=6cm，由勾股定理可求得CD=2cm≠AC，

故④不正確；

故選： B．