Question

12．如圖，AB是⊙O的直徑，延長BA到D，使DA=AO，AE垂直于弦AC，垂足為點A，點E在DC上，求S_△AEC：S_△AOC．

Answer 1

分析 作OF⊥AC于F，延長OF交CD于G，證出AE∥OG，得出點G是EC的中點，證出AE是△ODG的中位線，由三角形中位線定理得出AE=$\frac{1}{2}$OG，求出$\frac{AE}{OF}$=$\frac{2}{3}$，即可得出結果．

解答 解：作OF⊥AC于F，延長OF交CD于G，如圖所示：
∵OA=OC，
∴F是AC的中點，
∵AE垂直于弦AC，
∴AE∥OG，
∴點G是EC的中點，
∴GF=$\frac{1}{2}$AE，
∵AE∥OG，DA=OA，
∴點E是DG的中點，
∴AE是△ODG的中位線，
∴AE=$\frac{1}{2}$OG，
∴AE=$\frac{1}{2}$（OF+GF）=$\frac{1}{2}$（OF+$\frac{1}{2}$AE），
∴$\frac{AE}{OF}$=$\frac{2}{3}$，
∵△AEC的面積=$\frac{1}{2}$AE•AC，△AOC的面積=$\frac{1}{2}$AC•OF，
∴S_△AEC：S_△AOC=$\frac{AE}{OF}$=$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查了垂徑定理、平行線的判定與性質、三角形中位線定理、三角形面積的計算等知識；本題綜合性強，有一定難度，需要通過作輔助線運用三角形中位線定理才能得出結果．