Question

5．如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=10cm，BC=6cm，現有兩個動點P，Q分別從點A和點B同時出發，其中點P以每秒2cm的速度沿AB向終點B移動，點Q以每秒1cm的速度沿BC向終點C移動，其中一點到終點，另一點也隨之停止．連接PQ．設動點運動時間是x秒．
（1）用含x的代數式表示BQ，PB的長度；
（2）當x為何值時，△PBQ為等腰三角形；
（3）是否存在x的值，使得四邊形APQC的面積等于20平方厘米？若存在，請求出此時x的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）首先運用勾股定理求出AB邊的長度，然后根據路程=速度×時間，分別表示出BQ、PB的長度；
（2）由于∠B=90°，如果△PBQ為等腰三角形，那么只有一種情況，即BP=BQ，由（1）的結果，可列出方程，從而求出x的值；
（3）根據四邊形APQC的面積=△ABC的面積-△PBQ的面積，列出方程，根據解的情況即可判斷．

解答 解：（1）∵∠B=90°，AC=10，BC=6，
∴AB=8．
∴BQ=x，PB=8-2x；

（2）由題意，得
8-2x=x，
∴x=$\frac{8}{3}$．
∴當x=$\frac{8}{3}$時，△PBQ為等腰三角形；

（3）假設存在x的值，使得四邊形APQC的面積等于20cm²，
則 $\frac{1}{2}$×6×8-$\frac{1}{2}$x（8-2x）=20，
解得x₁=x₂=2．
∴假設成立，所以當x=2時，四邊形APQC面積的面積等于20cm²．

點評 本題考查了三角形綜合題、動點問題、勾股定理，路程與速度、時間的關系，等腰三角形的性質以及不規則圖形的面積計算，綜合性較強，解題的關鍵是用方程的思想解決問題，屬于中考常考題型．