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8.如圖,在平面直角坐標系xOy中,拋物線y=ax2-4ax-5a(a<0)與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側),經過點A的直線l:y=kx+b與y軸負半軸交于點C,與拋物線的另一個交點為D,且CD=6AC.
(1)求出點B的坐標,并求直線l的函數表達式(其中k、b用含a的式子表示);
(2)設P是拋物線的對稱軸上的一點,點Q在拋物線上,以點A、D、P、Q為頂點的四邊形能否成為矩形?若能,求出點P的坐標;若不能,請說明理由.

分析 (1)根據拋物線y=ax2-4ax-5a(a<0)與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側),可以求得點A和點B的坐標,由經過點A的直線l:y=kx+b,可以得到k與b的關系,然后根據CD=6AC,可以求得k與a的關系,從而可以表示出直線l的函數表達式;
(2)根據題意可以知道點A、D、P、Q為頂點的四邊形能成為矩形,然后分兩種情況進行解答,先畫出相應的圖形,然后根據題意求出相應的點P的坐標,從而可以解答本題.

解答 解:(1)∵拋物線y=ax2-4ax-5a(a<0)與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側),
∴0=ax2-4ax-5a=a(x-5)(x+1),得x1=-1,x2=5,
∴點A的坐標是(-1,0),點B的坐標是(5,0),
∵經過點A的直線l:y=kx+b,
∴k×(-1)+b=0,得k=b,
∴y=kx+k,
又∵CD=6AC,點A的坐標是(-1,0),
∴點D的橫坐標為6,
∴6k+k=a×62-4a×6-5a,
解得,k=a,
∴直線l的函數表達式是y=ax+a,
即點B的坐標是(5,0),直線l的函數表達式是y=ax+a;
(2)設P是拋物線的對稱軸上的一點,點Q在拋物線上,以點A、D、P、Q為頂點的四邊形能成為矩形.
當AD為矩形的一邊時,如下圖1所示:

∵$\left\{\begin{array}{l}{y=a{x}^{2}-4ax-5a}\\{y=ax+a}\end{array}\right.$
解得,x1=-1,x2=6
∴點D的坐標為(6,7a),
∵拋物線y=ax2-4ax-5a的對稱軸為直線x=$-\frac{-4a}{2a}=2$,P是拋物線的對稱軸上的一點,
∴設點P的坐標為(2,m),
∵點A的坐標為(-1,0),點Q在拋物線上,
∴點Q的坐標為(-5,40a),
∴m=7a+40a=47a,
∴點P的坐標為(2,47a),
∵AD⊥AQ,
∴AD2+AQ2=QD2,
即[6-(-1)]2+(7a)2+[(-1)-(-5)]2+(40a)2=[6-(-5)]2+(7a-40a)2,
解得,$a=±\frac{\sqrt{10}}{10}$,
∵a<0,
∴a=$-\frac{\sqrt{10}}{10}$,
∴點P的坐標為(2,$-\frac{47\sqrt{10}}{10}$);
當AD為矩形的對角線時,如下圖2所示,

∵$\left\{\begin{array}{l}{y=a{x}^{2}-4ax-5a}\\{y=ax+a}\end{array}\right.$
解得x1=-1,x2=6
∴點D的坐標為(6,7a),
∵拋物線y=ax2-4ax-5a的對稱軸為直線x=$-\frac{-4a}{2a}=2$,P是拋物線的對稱軸上的一點,
∴設點P的坐標為(2,m),
∵點A的坐標為(-1,0),點Q在拋物線上,
∴點Q的坐標為(3,-8a),
∴m=7a-(-8a)=15a,
∴點P的坐標為(2,15a),
∵AQ⊥AP,
∴AQ2+AP2=QP2,
即[3-(-1)]2+[(-8a)-0]2+[2-(-1)]2+(15a-0)2=(3-2)2+[(-8a)-15a]2,
解得a=$±\frac{\sqrt{10}}{10}$,
∵a<0,
∴a=-$\frac{\sqrt{10}}{10}$,
∴點P的坐標為(2,$-\frac{3\sqrt{10}}{2}$).
由上可得,點P的坐標為(2,$-\frac{47\sqrt{10}}{10}$)或(2,$-\frac{3\sqrt{10}}{2}$).

點評 本題考查二次函數綜合題、拋物線與x軸的交點,直線與拋物線的交點、勾股定理、拋物線的對稱軸,解題的關鍵是明確題意,可以求出相應的一次函數的表達式,會用分類討論的數學思想對問題進行解答,能夠運用勾股定理的知識進行解答問題.

練習冊系列答案
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