Question

（本題滿分12分）已知直線y＝kx＋6（k<0）分別交x軸、y軸于A、B兩點，線段OA上有一動點P由原點O向點A運動，速度為每秒2個單位長度，過點P作x軸的垂線交直線AB于點C，設運動時間為t秒．

（1）當k＝－1時，線段OA上另有一動點Q由點A向點O運動，它與點P以相同速度同時出發，當點P到達點A時兩點同時停止運動（如圖1）．

①直接寫出t＝1秒時C、Q兩點的坐標；

②若以Q、C、A為頂點的三角形與△AOB相似，求t的值．

（2）當時，設以C為頂點的拋物線y＝（x＋m）2＋n與直線AB的另一交點為D（如圖2），①求CD的長； ②設△COD的OC邊上的高為h，當t為何值時，h的值最大？

Answer 1

見解析

【解析】

試題分析：（1）①當k＝－1時，直線y＝-x＋6與x軸、y軸的交點A、B坐標分別是（6，0）（0,6），t＝1

秒時，AQ=2，OP=2，所以可求C、Q兩點的坐標；②分兩種情況討論：當△AQC∽△AOB時，可求t＝1.5，當△ACQ∽△AOB時，可求t＝2；（2）①根據題意得點C的坐標 則以C為頂點的拋物線是，然后表示出拋物線與直線y＝x＋6的交點坐標，過點D作DE⊥CP于點E，利用△DEC∽△AOB，可得； ②當，可求S△COD為定值，要使OC邊上的高h的值最大，只要OC最短，當OC⊥AB時OC，最短，此時OC的長為，然后根據Rt△PCO∽Rt△OAB．可得.

試題解析：【解析】
（1）①C（2，4），Q（4，0） 2分

②由題意得：P（2t，0），C（2t，－2t＋6），Q（6－2t，0）

分兩種情況討論：

情形一：當△AQC∽△AOB時，∠AQC＝∠AOB＝90°，

∴CQ⊥OA．

∵CP⊥OA，∴點P與點Q重合，OQ＝OP，即6－2t＝2t，∴t＝1.5

情形二：當△ACQ∽△AOB時，∠ACQ＝∠AOB＝90°，∵OA＝OB＝6，

∴△AOB是等腰直角三角形，∴△ACQ也是等腰直角三角形，

∵CP⊥OA，∴AQ＝2CP，即2t＝2（－2t＋6），

∴t＝2，∴滿足條件的t的值是1.5秒或2秒． 6分

（2）①由題意得：

∴以C為頂點的拋物線解析式是，

由 解得

過點D作DE⊥CP于點E，

則∠DEC＝∠AOB＝90°．

∵DE∥OA，∴∠EDC＝∠OAB，

∴△DEC∽△AOB，∴，∵AO＝8，AB＝10，

DE＝，∴CD＝ 9分

②∵，CD邊上的高＝，

∴S△COD為定值．要使OC邊上的高h的值最大，只要OC最短，當OC⊥AB時OC

最短，此時OC的長為，∠BCO＝90°，

∵∠AOB＝90°∴∠COP＝90°﹣∠BOC＝∠OBA，

又∵CP⊥OA，∴Rt△PCO∽Rt△OAB．

∴即，∴

∴當t為秒時，h的值最大． 12分

考點：1.一次函數；2.二次函數與一次函數的交點；3.相似三角形的判定與性質；4.分類討論.