Question

已知，、是過點的射線，射線、分別平分 和．
（1）如圖①，若、是的三等分線，則       °

（2）如圖②，若，，則       °

（3）如圖③，在內，若（），則       °

（4）將（3）中的繞著點逆時針旋轉到的外部（，），求此時的度數．

Answer 1

（1） ；（2）；（3）；（4）或

試題分析：（1）根據，、是的三等分線，再結合射線、分別平分 和即可求得結果；
（2）由，，可得∠AOC+∠DOB的度數，再根據射線、分別平分 和可得∠MOC+∠DON的度數，從而求得結果；
（3）由，，可表示∠AOC+∠DOB的度數，再根據射線、分別平分 和可表示∠MOC+∠DON的度數，從而得到結果；
（4）做射線OA、OB的反向延長線、，分五種情況：①射線OD在內，，③在內部，④OC與重合，⑤OC在內部，根據三等分線及角平分線的性質分析即可.
（1）∵，、是的三等分線
∴∠AOC=∠DOB=
∵射線、分別平分 和
∴∠MOC=∠DON=20°
∴∠MOC+∠COD+∠DON=；
（2）∵，
∴∠AOC+∠DOB=
∵射線、分別平分 和
∴∠MOC+∠DON=40°
∴∠MOC+∠COD+∠DON=；
（3）∵，
∴∠AOC+∠DOB=
∵射線、分別平分 和
∴∠MOC+∠DON=
∴∠MOC+∠COD+∠DON=；
（4）做射線OA、OB的反向延長線、
①射線OD在內
設,則

②

③

④OC與重合
∠BON=∠BOD=(60º+α)="∠DON"
∠CON=∠DON-∠DOC=(60º+α)-α=30º-α
∠M′ON=90º-∠CON=90º-30º-α=60º+α
∠MON=180º-∠M′ON=180º-(60º+α)=120º-α
⑤OC在內部
設∠AOD為x
∠COM=∠AOC=(α+x)
∠BON=∠BOD=(120º+x)
∠MON=∠BOC-∠BON-∠COM=120º+x+α-(120º+x)-(α+x)=60º+α
點評：解答本題的關鍵是熟練掌握角的平分線把角分成的兩個小角相等，均等于大角的一半；同時注意本題要有整體意識.