Question

【探究】：某商場秋季計劃購進一批進價為每條40元的圍巾進行銷售根據銷售經驗，應季銷售時，若每條圍巾的售價為60元，則可售出400條；若每條圍巾的售價每提高1元，銷售量相應減少10條．

（1）假設每條圍巾的售價提高x元，那么銷售每條圍巾所獲得的利潤是　　　　　　元，銷售量是　　　　　　條（用含x的代數式表示）．

（2）設應季銷售利潤為y元，請寫y與x的函數關系式；并求出應季銷售利潤為8000元時每條圍巾的售價．

【拓展】：根據銷售經驗，過季處理時，若每條圍巾的售價定為30元虧本銷售，可售出50條；若每條圍巾的售價每降低1元，銷售量相應增加5條，

（1）若剩余100條圍巾需要處理，經過降價處理后還是無法銷售的只能積壓在倉庫，損失本金；若使虧損金額最小，每條圍巾的售價應是　　　　　　元．

（2）若過季需要處理的圍巾共m條，且100≤m≤300，過季虧損金額最小是　　　　　　元；（用含m的代數式表示）

【延伸】：若商場共購進了500條圍巾且銷售情況滿足上述條件，如果應季銷售利潤在不低于8000元的條件下：

（1）沒有售出的圍巾共m條，則m的取值范圍是：　　　　　　；

（2）要使最后的總利潤（銷售利潤=應季銷售利潤﹣過季虧損金額）最大，則應季銷售的售價是　　　　　　元．

參考公式：拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點坐標是．

Answer 1

【考點】二次函數的應用．

【分析】探究：（1）每條圍巾獲得的利潤=實際售價﹣進價，銷售量=售價為60元時銷售量﹣因價格上漲減少的銷售量；

（2）根據：銷售利潤=單件利潤×銷售量可列函數解析式，并求y=8000時x的值；

拓展：（1）根據：虧損金額=總成本﹣每件圍巾的售價×銷售量，列出函數關系式，配方后可得最值情況；

（2）根據與（1）相同的相等關系列函數關系式配方可得最大值；

延伸：（1）根據0≤x≤20可得銷售量200≤400﹣10x≤400，進而可得沒有售出的圍巾100≤m≤300；

（2）先表示出虧損的最小金額，然后根據：銷售利潤=應季銷售利潤﹣過季虧損金額列出函數關系式配方，結合x的取值范圍確定最值情況．

【解答】解：探究：

（1）每個圍巾所獲得的利潤是（20+x）元，

這種圍巾的銷售量是（400﹣10x）個．

（2）設應季銷售利潤為y元．

由題意得：y=（20+x）（400﹣10x）=﹣10x²+200x+8000

把y=8000代入，得﹣10x²+200x+8000=8000

解得x1=0，x2=20；

答：圍巾的售價為60元或80元． 

拓展：

（1）設過季處理時虧損金額為y₂元，單價降低z元．

由題意得：y₂=40×100﹣（30﹣z）（50+5z），

y₂=5（z﹣10）²+2000；

z=10時虧損金額最小為2000元，此時售價為30﹣10=20（元/件）

（2）y₂=40m﹣（30﹣z）（50+5z），

y₂=5（z﹣10）²+40m﹣2000；

延伸：①m的取值范圍是：100≤m≤300 

②因為m=500﹣（400﹣10x）=100+10x，且100≤m≤300

所以虧損的最小金額為40（100+10x）﹣2000=2000+400x元

設總利潤為w，

W=（20+x）（400﹣10x）﹣（2000+400x）=﹣10（x+10）²+7000

因為0≤x≤20，

所以當x=0時，即售價為60元/條，總利潤w有最大值6000元．

【點評】本題主要考查二次函數的應用，解決本題的關鍵是在不同情形下理清數量關系、緊扣相等關系列出函數解析式，根據解析式結合自變量取值范圍求函數最值是根本技能．