Question

如圖（1），點M、N分別是正方形ABCD的邊AB、AD的中點，連接CN、DM．
（1）判斷CN、DM的數量關系與位置關系，并說明理由；
（2）如圖（2），設CN、DM的交點為H，連接BH，求證：△BCH是等腰三角形；
（3）將△ADM沿DM翻折得到△A′DM，延長MA′交DC的延長線于點E，如圖（3），求tan∠DEM．

Answer 1

【答案】分析：（1）CN=DM，CN⊥DM，由于點M、N分別是正方形ABCD的邊AB、AD的中點，所以AM=DN，AD=DC，∠A=∠CDN，由此證明
△AMD≌△DNC，然后利用全等三角形的性質證明 CN=DM，CN⊥DM；
（2）延長DM、CB交于點P．由AD∥BC得到∠MPC=∠MDA，而∠A=∠MBP，MA=MB，由此證明△AMD≌△BMP，然后利用全等三角形的性質即可證明題目結論；
（3）由AB∥DC，得到∠EDM=∠AMD=∠DME，接著得到EM=ED，設AD=A′D=4k，則A′M=AM=2k，那么DE=EA′+2k．而在Rt△DA′E中，A′D²+A′E²=DE²，由此可以得到關于A′E用k表示的結論，然后利用三角函數的定義即可求解．
解答：證明：（1）CN=DM，CN⊥DM，
∵點M、N分別是正方形ABCD的邊AB、AD的中點，
∴AM=DN．AD=DC．∠A=∠CDN，
∴△AMD≌△DNC（SAS），
∴CN=DM．∠CND=∠AMD，
∴∠CND+∠NDM=∠AMD+∠NDM=90°，
∴CN⊥DM，
∴CN=DM，CN⊥DM；（3分）

（2）延長DM、CB交于點P．
∵AD∥BC，
∴∠MPC=∠MDA，∠A=∠MBP，
∵MA=MB，
∴△AMD≌△BMP（AAS），
∴BP=AD=BC．
∵∠CHP=90°，
∴BH=BC，
即△BCH是等腰三角形；

（3）∵AB∥DC，
∴∠EDM=∠AMD=∠DME，
∴EM=ED．
設AD=A′D=4k，則A′M=AM=2k，
∴DE=ME=EA′+2k．
在Rt△DA′E中，A′D²+A′E²=DE²，
∴（4k）²+A′E²=（EA′+2k）²，
解得A′E=3k，
∴在直角△A′DE中，tan∠DEM=A′D：A′E=．（10分）
點評：此題主要考查了正方形的性質，同時也利用了全等三角形的性質與判定、等腰三角形的性質、勾股定理及三角函數的定義，綜合性比較強，要求學生對于這些知識點比較熟練才能很好解決問題．