Question

在正整數范圍內，方程組（x，y）=60，（y，z）=90，[z，x]=360，y≤1000有多少組解？其中（　　）、[]分別表示最大公約數和最小公倍數．

A、3

B、6

C、12

D、24

Answer 1

分析：根據60、90分別是y的約數可得出y=180k（k取正整數），結合y≤1000討論k的值，然后每一個y值可得出符合題意的x、z的組合，繼而可得出答案．

解答：解：由題意得，60、90都是y的約數，
∴y=180k（k取正整數），
又∵y≤1000，
則k≤5；
①當k=1時，y=180，
∵（x，y）=60，（y，z）=90，[z，x]=360，
∴可得x=120，z=90，
則（x，z）=（120，90），此時有1組解．
②當k=2時，y=360，
∵（x，y）=60，（y，z）=90，[z，x]=360，
沒有符合題意的x和z，此時沒有解．
③當k=3時，y=540，
∵（x，y）=60，（y，z）=90，[z，x]=360，
則（x，z）=（120，90），此時有1組解．
④當k=4時，y=720，
∵（x，y）=60，（y，z）=90，
∴可得x=60，z=90，
又∵[z，x]=360，
∴沒有符合題意的x和z，此時沒有解．
⑤當k=5時，y=900，
∵（x，y）=60，（y，z）=90，
∴可得x=60或120或360，z=90或360，
又∵[z，x]=360，
則（x，z）=（120，90），此時有1組解．
綜上可得共有3組解．
故選A．

點評：本題考查了最大公約數及最小公倍數，根據題意得出y=180k是解答本題的關鍵，難點在于分類討論k的值時，判斷符合題意的x、z的組合，難度較大，要求細心解答．