Question

某計算裝置有一個數據入口A和一個運算結果的出口B，將自然數中的各數依次輸入A口，從B口分別得到輸出的數．結果表明：
①從A口輸入n=1時，從B口得到a₁=

1

3

；
②當n≥2時，從A口輸入n，從B口得到的結果是將前一結果a_n-1先乘以自然數中和第n-1個奇數再除以自然數中和第n+1個奇數，
試問：（1）從A口輸入2和3時，從B口分別得到什么數？
（2）從A口輸入2008時，從B口得到什么數？
（3）求：a₁+a₂+a₃…+a₂₀₀₈的值．

Answer 1

分析：（1）根據題意可得答案；
（2）通過觀察（1）中的規律即可得出答案；
（3）找出一般形式a_n=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）即可求解．

解答：解：（1）由題意知：a₂=a₁×

1

5

=

1

3

×

1

5

=

1

2×2-1

×

1

2×2+1

=

1

15

，
a₃=

1

2×3-1

×

1

2×3+1

=

1

35

；

（2）觀察（1）的規律可得：a₂₀₀₈=

1

4015

×

1

4017

=

1

16128255

；

（3）找出一般形式為：a_n=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴a₁+a₂+a₃+a₂₀₀₈=

1

2

（

1

1

-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…-

1

4017

）=

1

2

×

4016

4017

=

2008

4017

．

點評：本題考查了整數的奇偶性問題及數字的規律變化，難度適中，關鍵是找出一般形式a_n=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）．