Question

矩形OABC的頂點A（-8，0）、C（0，6），點D是BC邊上的中點，拋物線y=ax²+bx經過A、D兩點，如圖所示．
（1）求點D關于y軸的對稱點D′的坐標及a、b的值；
（2）在y軸上取一點P，使PA+PD長度最短，求點P的坐標；
（3）將拋物線y=ax²+bx向下平移，記平移后點A的對應點為A₁，點D的對應點為D₁，當拋物線平移到某個位置時，恰好使得點O是y軸上到A₁、D₁兩點距離之和OA₁+OD1最短的一點，求此拋物線的解析式．

Answer 1

分析：（1）由矩形的性質可知B點的坐標，因為點D是BC邊上的中點，所以可求出點D關于y軸對稱點D′的坐標，把A點和D點的坐標代入拋物線y=ax²+bx可求出a，c的值；
（2）先設直線AD′的解析式為y=kx+n，由已知條件可求出k和n的值，再求出直線和y軸的交點坐標即可；
（3）設拋物線向下平移了m個單位，表示出點A₁，點D₁的點坐標，又O是y軸上到A₁、D₁兩點距離之和OA₁+OD₁最短的一點，所以可求出此拋物線的解析式．

解答：解：（1）由矩形的性質可知：B（-8，6），
∴D（-4，6）；點D關于y軸對稱點D′（4，6），
將A（-8，0）、D（-4，6）代入y=ax²+bx得：

64a-8b=0 16a-4b=6

，
∴

a=- 3 8 b=-3

；

（2）設直線AD′的解析式為y=kx+n，則：
∴

-8k+n=0 4k+n=6

，
解得：

k= 1 2 n=4

，
∴直線y=

1

2

x+4，與y軸交于點（0，4），
點P（0，4）；

（3）由于OP=4，故將拋物線向下平移4個單位時，有OA₁+OD₁最短；
∴y+4=-

3

8

x²-3x，
∴此時的解析式為y=-

3

8

x²-3x-4．

點評：此題考查了二次函數與一次函數，四邊形的綜合知識，解題的關鍵是要注意數形結合思想的應用．此題屬于中考中的壓軸題，難度較大，知識點考查的較多而且聯系密切，需要認真審題．