Question

A₁A₂B是直角三角形，且A₁A₂=A₂B=a，A₂A₃⊥A₁B，垂足為A₃，A₃A₄⊥A₂B，垂足為A₄，A₄A₅⊥A₃B，垂足為A₅，…，A_n+1A_n+2⊥A_nB，垂足為A_n+2，則線段A_n+1A_n+2（n為自然數）的長為（　　）

• A、

  a

  2n

• B、

  a

  ( 2 )n+1

• C、

  a

  2

• D、

  a

  2n

Answer 1

分析：先根據勾股定理及等腰三角形的性質求出A₂A₃及A₃A₄的長，找出規律即可解答．

解答：解：∵△A₁A₂B是直角三角形，且A₁A₂=A₂B=a，A₂A₃⊥A₁B，
∴A₁B=

a2+ a2

=

2

a，
∵△A₁A₂B是等腰直角三角形，∴A₂A₃⊥A₁B，
∴A₂A₃=A₁A₃=

1

2

A₁B=

2 a

2

=

a

21

，
同理，△A₂A₃B是等腰直角三角形，A₂A₃=A₃B=

2 a

2

，
A₂B=

A2A32+A3B2

=

( 2 a 2 )2+( 2 a 2 )2

=

a

2

=

a

22

，
∴線段A_n+1A_n+2（n為自然數）的長為

a

2n

．
故選A．

點評：此題屬規律性題目，涉及到等腰三角形及直角三角形的性質，解答此題的關鍵是求出A₂A₃及A₃A₄的長找出規律．