Question

6．如圖，等腰Rt△ABC和等腰Rt△EDB，AC=BC，DE=BD，∠ACB=∠EDB=90°，P為AE的中點
（1）連接PC、PD，則PC、PD的位置關(guān)系是PC⊥PD，數(shù)量關(guān)系是PC=PD，并證明你的結(jié)論；
（2）當E在線段AB上變化時，其它條件不變，作EF⊥BC于F，連接PF，試判斷△PCF的形狀；
（3）在點E運動過程中，△PCF是否可為等邊三角形？若可以，試求△ACB與△EDB的兩直角邊之比．

Answer 1

分析 （1）作EF⊥BC于F，連接PF，作PH⊥BC于H，證明△PEF≌△PED，得到PF=PD，∠EPF=∠EPD，根據(jù)梯形中位線定理、垂直平分線的性質(zhì)得到PC=PF，證明結(jié)論；
（2）作PH⊥BC于H，根據(jù)梯形中位線定理證明；
（3）設EF=BF=x，HF=y，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到PH=$\sqrt{3}$y，證明△BEF∽△BPH，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計算即可．

解答 解：（1）PC⊥PD，PC=PD，
證明：作EF⊥BC于F，連接PF，作PH⊥BC于H，
則四邊形EFBD是正方形，
在△PEF和△PED中，
$\left\{\begin{array}{l}{PF=PD}\\{∠PEF=∠PED}\\{PE=PE}\end{array}\right.$，
∴△PEF≌△PED，
∴PF=PD，∠EPF=∠EPD，
∵AC∥PH∥EF，P為AE的中點，
∴CH=HF，又PH⊥BC，
∴PC=PF，∠CPH=∠FPH，
∴PC=PD，∠CPD=2×45°=90°，
故答案為：PC⊥PD；PC=PD；
（2）作PH⊥BC于H，
則AC∥PH∥EF，P為AE的中點，
∴CH=HF，又PH⊥BC，
∴PC=PF，
∴△PCF為等腰三角形；
（3）設EF=BF=x，HF=y，
∵△PCF是等邊三角形，
∴PH=$\sqrt{3}$y，
∵PH∥EF，
∴△BEF∽△BPH，
∴$\frac{EF}{PH}$=$\frac{BF}{BH}$，即$\frac{x}{\sqrt{3}y}$=$\frac{x}{x+y}$，
解得，y=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$x，
∵PH是梯形ACFE的中位線，
∴AC=（$\sqrt{3}$+2）x，
則△ACB與△EDB的兩直角邊之比為$\sqrt{3}$+2．

點評 本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定、相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相關(guān)的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．