Question

18．如圖，在矩形ABCD中，點E在BC邊上，動點P以2厘米/秒的速度從點A出發，沿△AED的邊按照A→E→D→A的順序運動一周．設點P從A出發經x（x＞0）秒后，△ABP的面積是y．
（1）若AB=6厘米，BE=8厘米，當點P在線段AE上時，求y關于x的函數表達式；
（2）已知點E是BC的中點，當點P在線段AE上時，y=$\frac{12}{5}$x；當點P在線段AD上時，y=32-4x．求y關于x的函數表達式．

Answer 1

分析 （1）設△ABE中，邊AE上的高為h，由S△ABE=$\frac{1}{2}$AE•h=$\frac{1}{2}$AB•BE，AP=2x，即可解決問題．
（2）分別求出當點P在線段AE上時，當點P在線段AD上時，x的取值范圍即可解決問題．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABE=90°．
又  AB=8，BE=6，
∴AE=$\sqrt{82+62}$=10，
設△ABE中，邊AE上的高為h，
∵S_△ABE=$\frac{1}{2}$AE•h=$\frac{1}{2}$AB•BE，
∴h=$\frac{24}{5}$，又  AP=2x，
∴y=$\frac{24}{5}$x（0＜x≤5）．

（2）∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，AB=DC，AD=BC．
∵E為BC中點，
∴BE=EC．
∴△ABE≌△DCE．
∴AE=DE，
當點P運動至點D時，S_△ABP=S_△ABD，由題意得 $\frac{12}{5}$x=32-4x，
解得x=5，
當點P運動一周回到點A時，S_△ABP=0，由題意得32-4x=0，
解得x=8，
∴AD=2×（8-5）=6，
∴BC=6，
∴BE=3，
且AE+ED=2×5=10，
∴AE=5，
在Rt△ABE中，AB=$\sqrt{52-32}$=4，
設△ABE中，邊AE上的高為h，
∵S_△ABE=$\frac{1}{2}$AE•h=$\frac{1}{2}$AB•BE，
∴h=$\frac{12}{5}$，
又  AP=2x，
∴當點P從A運動至點D時，y=$\frac{12}{5}$x（0＜x≤2.5），
∴y關于x的函數表達式為：當0＜x≤5時，y=$\frac{12}{5}$x；當5＜x≤8時，y=32-4x．

點評 本題考查函數的應用，矩形的性質、三角形的面積等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．