Question

20．如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，BC=4，點P是△BAC邊上一動點，沿B→A→C的路徑移動，過P點作PD⊥BC于D點，BD=x，△BDP的面積為y，則下列能大致反映y與x的函數關系的圖象的是（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 過A點作AH⊥BC于H，利用等腰直角三角形的性質得到∠B=∠C=45°，BH=CH=AH=$\frac{1}{2}$BC=2，分類討論：當0≤x≤2時，如圖1，易得PD=BD=x，根據三角形面積公式得到y=$\frac{1}{2}$x²；當2＜x≤4時，如圖2，易得PD=CD=4-x，根據三角形面積公式得到y=-$\frac{1}{2}$x²+2x，于是可判斷當0≤x≤2時，y與x的函數關系的圖象為開口向上的拋物線的一部分，當2＜x≤4時，y與x的函數關系的圖象為開口向下的拋物線的一部分，然后利用此特征可對四個選項進行判斷．

解答 解：過A點作AH⊥BC于H，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=45°，BH=CH=AH=$\frac{1}{2}$BC=2，
當0≤x≤2時，如圖1，
∵∠B=45°，
∴PD=BD=x，
∴y=$\frac{1}{2}$•x•x=$\frac{1}{2}$x²；
當2＜x≤4時，如圖2，
∵∠C=45°，
∴PD=CD=4-x，
∴y=$\frac{1}{2}$•（4-x）•x=-$\frac{1}{2}$x²+2x，
故選A．

點評 本題考查了動點問題的函數圖象：函數圖象是典型的數形結合，圖象應用信息廣泛，通過看圖獲取信息，不僅可以解決生活中的實際問題，還可以提高分析問題、解決問題的能力．解決本題的關鍵是利用分類討論的思想求出y與x的函數關系式．