Question

（1）如圖1，圓內接△ABC中，AB=BC=CA，OD、OE為⊙O的半徑，OD⊥BC于點F，OE⊥AC于點G，求證：陰影部分四邊形OFCG的面積是△ABC的面積的.

（2）如圖2，若∠DOE保持120°角度不變，求證：當∠DOE繞著O點旋轉時，由兩條半徑和△ABC的兩條邊圍成的圖形（圖中陰影部分）面積始終是△ABC的面積的.

Answer 1

解：過點O作OH⊥AB于點H.

         ∵等邊△ABC是⊙O的內接三角形，OD⊥BC ，OH⊥AB，OE⊥AC

         ∴∠B=∠C=60°，∠BHO=∠BFO=∠CFO=∠CGO=90°， BH=BF=CF=CG，OH=OF=OG

         ∴∠FOH=∠FOG=180°-60°=120°，∴四邊形ＢＤＯＨ≌四邊形ＣＦＯＧ （2分）

　　　 　同理：四邊形ＢＤＯＨ≌四邊形ＡＨＯＧ

∴四邊形ＢＤＯＨ≌四邊形ＣＦＯＧ≌四邊形ＡＨＯＧ

∴，（1分）

又∵

∴．（2分）

   

 （２）過圓心Ｏ分別作ＯＭ⊥ＢＣ，ＯＮ⊥ＡＣ，垂足為Ｍ、Ｎ.

            則有∠OMF=∠ONG=90°，OM=ON，∠MON=∠FOG=120°

             ∴∠MON-∠FON=∠FOG-∠FON，即∠MOF=∠NOG

             ∴△MOF≌△NOG，∴   

 ∴若∠DOE保持120°角度不變，當∠DOE繞著O點旋轉時，由兩條半徑和△ABC的兩條邊圍成的圖形（圖中陰影部分）面積始終是△ABC的面積的.