Question

16．在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對邊長，tanA、tanB是關于x的一元二次方程x²-kx+12k²-37k+26=0的兩個實數根．
（1）求k的值；
（2）若c=10，求a和b的值．

Answer 1

分析 （1）由根與系數的關系可得出tanA•tanB=12k²-37k+26，根據正切的定義即可得出tanA•tanB=$\frac{a}{b}$•$\frac{b}{a}$=1，由此即可得出關于k的一元二次方程，解之即可得出k的值，將k值代入原方程再根據根的判別式△≥0即可確定k的值；
（2）將k的值代入原方程，解方程求出x的值，分a＜b和a＞b兩種情況考慮，根據x的值結合c=10利用勾股定理即可求出a、b的值，此題得解．

解答 解：（1）∵tanA、tanB是關于x的一元二次方程x²-kx+12k²-37k+26=0的兩個實數根，
∴tanA•tanB=12k²-37k+26．
又∵tanA•tanB=$\frac{a}{b}$•$\frac{b}{a}$=1，
∴12k²-37k+26=1，
解得：k₁=$\frac{25}{12}$，k₂=1．
當k₂=1時，原方程化為x²-x+1=0，
此時△=（-1）²-4×1×1＜0，不合題意，舍去，
∴k=$\frac{25}{12}$．
（2）當k=$\frac{25}{12}$時，原方程化為x²-$\frac{25}{12}$x+1=0，
解得：x₁=$\frac{4}{3}$，x₂=$\frac{3}{4}$．
①當a＞b時，∴tanA=$\frac{a}{b}$=$\frac{4}{3}$，
不妨設a=4m，b=3m（m＞0），
∴c=5m，
∵c=10，
∴5m=10，
∴m=2，
∴a=8，b=6；
②當a＜b時，∴tanA=$\frac{a}{b}$=$\frac{3}{4}$，
同理可得a=6，b=8．
∴a=6，b=8或a=8，b=6．

點評 本題考查了根的判別式、根與系數的關系以及勾股定理，利用勾股定理求出三角形的兩直角邊長是解題的關鍵．