Question

20．（1）如圖1，正方形ABCD，將∠BAD以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別交CD于點(diǎn)E，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．證明：AF=AE．
（2）閱讀理解：若平面上四點(diǎn)連成四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，那么這四點(diǎn)共圓．這是四點(diǎn)共圓的判定方法之一．如圖2，在四邊形中ABCD中，若∠B+∠D=180°，則A、B、C、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上．
得出四點(diǎn)共圓后，可以用圓的知識(shí)來(lái)幫助解決多邊形的問題，因此四點(diǎn)共圓的知識(shí)能為解決相關(guān)的問題提供新的思路．如第（1）小題中，因?yàn)椤螧CD=90°，∠FAE=∠BAD=90°，所以∠FAE+∠BCD=180°，即F、C、E、A四點(diǎn)共圓．
如圖3，請(qǐng)?jiān)贔、C、E、A四點(diǎn)共圓的基礎(chǔ)上證明第（1）小題的結(jié)論．
（3）如圖4，將正方形改為矩形，且AB=a，BC=b，其它條件不變，請(qǐng)猜想$\frac{AE}{AF}$的值，并用兩種不同的方法進(jìn)行證明．

Answer 1

分析 （1）由∠1=∠2，AB=AD，∠ABF=∠ADE=90°，得出△ABF≌△ADE，進(jìn)而可證明AF=AE；
（2）易證A、E、C、F四點(diǎn)共圓，所以∠AEF=∠ACB=45°，繼而證明△AEF是等腰直角三角形，所以可得AF=AE；
（3）易證A、E、C、F四點(diǎn)共圓，所以可得∠AFE=∠ACD，由tan∠AFE=tan∠ACD，即可求出$\frac{AE}{AF}$的值．

解答 解：
（1）∵正方形ABCD，將∠BAD以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，
∴∠FAB+∠BAE=∠DAE+∠BAE=90°
∴∠BAF=∠DAE，
在△ABF和△ADE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAF=∠DAE}\\{AB=AD}\\{∠ABF=∠ADE=90°}\end{array}\right.$
∴△ABF≌△ADE，
∴AF=AE；
（2）∵∠EAF=90°，∠ECF=90°，
∴A、E、C、F四點(diǎn)共圓，
∴∠AEF=∠ACB=45°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AF=AE；
（3）∵∠EAF=90°，∠ECF=90°，
∴A、E、C、F四點(diǎn)共圓，
∴∠AFE=∠ACD，
∴tan∠AFE=tan∠ACD，
即$\frac{AE}{AF}=\frac{AD}{CD}=\frac{b}{a}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了和圓有關(guān)的綜合性題目，用到的知識(shí)點(diǎn)由正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判斷和性質(zhì)以及四點(diǎn)共圓，數(shù)據(jù)特殊四邊形的各種性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．