Question

如圖，已知E為線段AB的中點(diǎn)，四邊形BCDE是以BC為一邊的正方形．以B為圓心，BD長(zhǎng)為半徑的⊙B與AB邊相交于F點(diǎn)，延長(zhǎng)CB交⊙B于G點(diǎn)．
求證：（1）AD是⊙B的切線；
（2）DE²=EF•CG．

Answer 1

分析：（1）如圖1，連接BD，由DE⊥AB，E為AB的中點(diǎn)，所以，AD=BD，再根據(jù)正方形的性質(zhì)，可得∠ADB=90°；
（2）如圖2，連接DF、DG，可通過(guò)證明Rt△DEF∽R(shí)t△GCD來(lái)解答；∠DFB=

(180°-45°)

2

=67.5°，∠GDC=∠GDB+∠BDC=67.5°，∠GDB=

(180°-135°)

2

=22.5°，即可得出結(jié)論；

解答：證明：（1）如圖1，連接BD，
∵四邊形BCDE是正方形∴∠DBA=45°，
∵DE⊥AB，E為AB的中點(diǎn)，∴AD=BD，
∴∠DAB=∠DBA=45°，
∴∠ADB=90°，
∴AD是⊙B的切線；

（2）如圖2，連接DF，在△BDF中，∵BD=BF，
∴∠BFD=∠BDF，又∵∠DBF=45°，
∴∠BFD=∠BDF=67.5°，
連接DG，在△BDG中，∵BD=BG，
∴∠BDG=∠BGD，
又∵∠DBG=∠DBE+∠GBE=45°+90°=135°，
∴∠GDB=22.5°，
在Rt△DEF與Rt△GCD中∵∠GDC=∠GDB+∠BDC=67.5°=∠DFE，
∴Rt△DEF∽R(shí)t△GCD，
∴

DE

GC

=

EF

CD

，
又∵CD=DE，
∴DE²=EF•CG．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形及切線的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，應(yīng)熟練掌握其判定、性質(zhì)定理，考查了學(xué)生綜合應(yīng)用知識(shí)的能力．