Question

（2011•黃浦區一模）如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=3，CD=6，BE⊥BC交直線AD于點E．
（1）當點E與D恰好重合時，求AD的長；
（2）當點E在邊AD上時（E不與A、D重合），設AD=x，ED=y，試求y關于x的函數關系式，并寫出定義域；
（3）問：是否可能使△ABE、△CDE與△BCE都相似？若能，請求出此時AD的長；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由∠ABD=∠BDC，∠DBC=∠A，證得△ABD∽△BDC，利用相似三角形的對應邊成比例，即可求得AD的長；
（2）首先作BH⊥DC，利用同角的余角相等，即可求得∠HBC=∠ABE，又由∠BHC=∠A=90°，即可得到△ABE∽△HBC，則可求得y關于x的函數關系式；
（3）分別從使△ABE、△CDE與△BCE都相似與△ABE、△CDE與△BCE都相似分析，利用相似三角形的性質，即可求得AD的長．
解答：解：（1）當點E與D重合時，由∠ABD=∠BDC，∠DBC=∠A，
得△ABD∽△BDC，則，
∴，
則．

（2）過點B作BH⊥DC交DC于點H，
則∠ABE+∠EBH=90°，∠EBH+∠HBC=90°，
∴∠HBC=∠ABE，又∠BHC=∠A=90°，
∴△ABE∽△HBC，
又AB‖CD，得HB=AD=x，HC=CD-DH=6-3=3，
∴，即，
解得，定義域為（x＞3）．

（3）假設能使△ABE、△CDE與△BCE都相似，
①當點E在邊AD上時，（如圖）
易知∠EBC=∠A=∠D=90°，
考慮∠1的對應角，容易得到∠1≠∠ABE，∠1≠∠DCE，
所以必有∠1=∠2=∠3=60°，
于是在△ABE、△CDE中，易得，，
∴，
此時，，，BC=6，
即能使△ABE、△CDE與△BCE都相似．
②當點E在邊AD的延長線上時，
∴∠EBC=∠A=∠D=90°，
∵∠1≠∠ABE，∠1≠∠DEC，
∴∠1=∠2=∠3=30°，
∴AE==3，DE=CD•tan30°=2，
∴AD=AE-DE=，
此時BE=6，CE=4，BC=2，
同樣能使△ABE、△CDE與△BCE都相似．
∴AD=3或．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質．解題時要注意分類討論思想與數形結合思想的應用．