Question

（2011•黃浦區一模）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB延長線上一點，且BD=BC，CE⊥CD交AB于E．
（1）求證：△ACE∽△ADC；
（2）若BE：EA=3：2，求sin∠A的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲證△ACE∽△ADC，只要找出兩個三角形的兩個對應角相等即可得證，利用BD=BC，可得∠DCB=∠D，又利用等角的余角相等，即可得出∠D=∠ACE，且∠A為公共角，即可得證．
（2）結合題意，易證∠BCE=∠BEC，且BE=BC．又因為BE：EA=3：2，設BE=3k，EA=2k，在△ABC中，∠ACB=90°，可分別得出BC=3k，AB=5k，利用三角函數關系即可得出sin∠A=．
解答：解：（1）∵BD=BC，
∴∠DCB=∠D．（1分）
又∵CE⊥CD，∠ACB=90°，
∴∠DCB+∠BCE=90°，∠ACE+∠BCE=90°，
∴∠D=∠DCB=∠ACE，（2分）
又∵∠A=∠A，（1分）
∴△ACE∽△ADC．（1分）

（2）∵∠DCB+∠BCE=90°，∠D+∠DEC=90°，又∠DCB=∠D，
∴∠BCE=∠BEC，（1分）
∴BE=BC．（1分）
又BE：EA=3：2，令BE=3k，EA=2k，（1分）
在△ABC中，∠ACB=90°，BC=3k，AB=5k，（1分）
∴sin∠A=．（1分）
點評：本題主要考查了相似三角形的判定和解直角三角形的應用，希望學生能夠靈活運用所學知識，掌握此類題目的要點．