Question

【題目】如圖，二次函數y＝ax2+bx+c的圖象與x軸的一個交點坐標，頂點A的坐標為．直線交x軸于點B，交y軸于點C，與拋物線的對稱軸交于點D，E為y軸上的一個動點．

（1）求這條拋物線的解析式和點D的坐標；

（2）若以C、D、E為頂點的三角形與△ACD相似，求點E的坐標；

（3）若點E關于直線BC的對稱點M恰好落在拋物線上，求點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）這條拋物線的解析式為：y＝，點D的坐標為：（2，2）．（2）E點坐標為（0，1）或（0，）．（3）M點坐標為（2，）或（﹣1，）．

【解析】

（1）將函數解析式寫成頂點式，代入頂點及拋物線與x軸交點坐標可以求得解析式；點D橫坐標即為頂點橫坐標，代入直線解析式即可求得點D縱坐標，從而可得結論；

（2）設點E坐標為（0，m），用含m的代數式表示出CE，利用相似三角形的性質列比例式可解；

（3）從點E關于直線BC的對稱點M向y軸作垂直，由∠MEH與∠OBC相等，利用三角函數求得相關線段的長度，從而用一個未知數表示出點M的坐標，再將其代入拋物線解析式可求得這個未知數，從而得解．

（1）∵二次函數y＝ax2+bx+c的圖象與x軸的一個交點坐標（2+3，0），頂點A的坐標為（2，），

設其頂點式解析式為y＝a（x﹣2）2+，把（2+3，0）代入可得：a＝﹣，

∴y＝﹣（x﹣2）2+，即y＝，

∵直線與拋物線的對稱軸交于點D，當x＝2時，y＝2

∴點D坐標為（2，2）．

∴這條拋物線的解析式為：y＝，點D的坐標為：（2，2）．

（2）設點E坐標為（0，m）

∵直線交x軸于點B，交y軸于點C，當x＝0時，y＝3；當y＝0時，x＝6，

∴點C坐標為（0，3），點B坐標為（6，0），

∴CD＝，AD＝，CE＝3﹣m，

①當△ADC∽△DCE時，，即，解得m＝1；

②當△ADC∽△ECD時，，即，解得m＝，

∴E點坐標為（0，1）或（0，）．

（3）如圖，作MH⊥y軸于點H，設ME與BC交于點G，MH＝m，則∠MEH＝∠OBC

∴tan∠OBC＝tan∠MEH＝，

∴HE＝2m，EM＝m

在Rt△CEG中，EG＝EM＝，

∴CG＝m ，CE＝m ，

∴OE＝OC﹣CE＝3﹣m ，

∴OH＝OE+EH＝3﹣m+2m＝3+m，

∴點M坐標為（m，3+m），

把M（m，3+m）代入y＝﹣（x﹣2）2+得：m1＝2，m2＝﹣1，

∴M點坐標為（2，）或（﹣1，）．