Question

【題目】如圖，已知△ABC中，AB=BC，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，過D作DE⊥BC，垂足為E，連結OE，CD=，∠ACB=30°．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）分別求AB，OE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）AB=2，OE=．

【解析】

（1）根據AB是直徑即可求得∠ADB=90°，再根據題意可求出OD⊥DE，即得出結論；

（2）根據三角函數的定義，即可求得BC，進而得到AB，再在Rt△CDE中，根據直角三角形的性質，可求得DE，再由勾股定理求出OE即可．

（1）連接BD，OD．

∵AB是直徑，

∴∠ADB=90°．

又∵AB=BC，

∴AD=CD．

∵OA=OB，

∴OD∥BC．

∵DE⊥BC，

∴∠DEC=90°．

∵OD∥BC，

∴∠ODE=∠DEC=90°，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切線．

（2）在Rt△CBD中CD，∠ACB=30°，

∴BC2，

∴AB=2，

∴ODAB=1．

在Rt△CDE中，CD，∠ACB=30°，

∴DECD．

在Rt△ODE中，OE．