Question

已知直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，C是x軸上一點，如果∠ABC=∠ACB，
求：（1）點C的坐標；
（2）圖象經過A、B、C三點的二次函數的解析式．

Answer 1

解：（1）設點C的坐標是（x，0），根據題意得
當x=0時，y=；
當y=0時，x=1；
∴A點坐標是（1，0），B點坐標是（0，），
∴（1-0）²+（0-）²=（x-1）²+0²，
解得x=3或-1，
∴C點坐標是（3，0）或（-1，0）；

（2）設所求二次函數的解析式是y=ax²+bx+c，
把（1，0）、（0，）、（3，0）代入函數得
，
解得，
∴所求函數解析式是y=x²-x+；
把（1，0）、（0，）、（-1，0）代入函數得
，
解得，
∴所求函數解析式是y=-x²+．
故所求的二次函數的解析式是y=x²-x+或y=-x²+．
分析：（1）先設點C的坐標是（x，0），分別令x=0、y=0，求出A、B點的坐標，再利用兩點之間距離公式可得（1-0）²+（0-）²=（x-1）²+0²，求解即可求C點坐標；
（2）先設所求二次函數的解析式是y=ax²+bx+c，然后分別把（1，0）、（0，）、（3，0）以及（1，0）、（0，）、（-1，0）代入函數，可得三元一次方程組，求解即可．
點評：本題考查了一次函數的性質、待定系數法求函數解析式、解三元一次方程組．解題的關鍵是運用坐標系內兩點之間距離的公式．