Question

如圖，已知直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，C是線段AB的中點．拋物線y=ax²+bx+c（a＞0）過O、A兩點，且其頂點的縱坐標為．

（1）分別寫出A、B、C三點的坐標；
（2）求拋物線的函數解析式；
（3）在拋物線上是否存在點P，使得以O、P、B、C為頂點的四邊形是菱形？若存在，求所有滿足條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據直線AB的解析式，可確定A、B的坐標，再根據中點坐標公式求出C點的坐標；
（2）欲求過O、A二點且其頂點的縱坐標為的拋物線解析式，利用待定系數法來求得該拋物線的解析式．
（3）首先假設成立，根據菱形的性質求解，求得點P坐標為（-3，4）．
解答：解：（1）∵直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，
-x+8=0，x=6；
y=0+8，y=8；
（6+0）÷2=3，（0+8）÷2=4．
∴A（6，0）、B（0，8）、C（3，4）；

（2）依題意有
解得
∴拋物線的函數解析式為y=；

（3）存在點P，使以O、P、B、C為頂點的四邊形是菱形，
∵∠AOB=90°，A（6，0）、B（0，8），
∴，
∵C是AB的中點，
∴OC==5，
∵OB=8，
∴OB＞OC，且OB＞BC，
∴當以O、P、B、C為頂點的四邊形是菱形時，OB是該菱形的對角線，
連接PC，則OB是PC的垂直平分線，
∴點P與點C關于直線OB對稱，即P與C關于y軸對稱，
∵C（3，4），
∴P（-3，4），
把點P（-3，4）代入拋物線方程y=得：
當x=-3時，y=，
∴點P（-3，4）在拋物線上．
故在拋物線上存在點P，使以O、P、B、C為頂點的四邊形是菱形，點P的坐標是（-3，4）．
點評：本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式、菱形的性質等重要知識點，綜合性強，考查學生數形結合的數學思想方法．