Question

5．如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，過點C作射線CM且滿足∠ACM=∠ABC．
（1）判斷CM與⊙O的位置關系，并證明；
（2）延長BC到D，使BC=CD，連接AD與CM交于點E，若⊙O的半徑為3，ED=2，求△ACE的外接圓的半徑．$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 （1）利用圓周角定理結合等腰三角形的性質(zhì)利用∠ACM=∠ABC求出答案；
（2）首先得出△AEC的外接圓的直徑是AC，進而結合相似三角形的性質(zhì)得出AC的長，進而得出答案．

解答 （1）證明：如圖，連接OC
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠BAC=90°，
又∵∠ACM=∠ABC，∠OAC=∠OCA，
∴∠OCA+∠ACM=90°，
∴CM是⊙O的切線；

（2）解：∵BC=CD，
∴OC∥AD，
又∵OC⊥CE，
∴AD⊥CE，
∴△AEC是直角三角形，
∴△AEC的外接圓的直徑是AC，
又∵∠ABC+∠BAC=90°，∠ACM+∠ECD=90°，
∴△ABC∽△CDE，
∴$\frac{AB}{CD}$=$\frac{BC}{ED}$，
⊙O的半徑為3，
∴AB=6，
∴$\frac{6}{CD}$=$\frac{BC}{2}$，
∴BC²=12，
∴BC=2$\sqrt{3}$，
∴AC=$\sqrt{36-12}$=2$\sqrt{6}$，
∴△AEC的外接圓的半徑為$\sqrt{6}$．
故答案為：$\sqrt{6}$．

點評 此題主要考查了直線與圓的位置關系以及相似三角形的判定與性質(zhì)，正確應用相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關鍵．